Considere el conjunto \[A = \left\{1+\frac{1}{k} : k=1,2,3,4,\cdots \right\}.\] (a) Muestra que todo entero $x \ge 2$ puede ser escrito como el producto de uno o más elementos de $A$, no necesariamente distintos. (b) Para todo entero $x \ge 2$, sea $f(x)$ el menor entero tal que $x$ puede ser escrito como el producto de $f(x)$ elementos de $A$, no necesariamente distintos. Demuestra que existen infinitos pares $(x, y)$ de enteros con $x \ge 2$, $y \ge 2$, tales que \[f (xy) \lt f (x) + f (y).\]

Un dominó es una ficha de $1 \times 2$ o de $2 \times 1$ cuadrados unitarios. Sea $n \ge 3$ un entero. Se ponen dominós en un tablero de $n \times n$ casillas de tal manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero sin superponerse (en otras palabras, sin traslaparse). El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una casilla de esta fila o columna. Una configuración de dominós se llama balanceada si existe algún entero $k \ge 1$ tal que cada fila y cada columna tiene valor $k$. Demuestra que existe una configuración balanceada para cada $n \ge 3$, y encuentre el mínimo número de dominós necesarios para una tal configuración.

Encuentra el menor número entero positivo $k$ para el que existe una coloración de los enteros positivos $\mathbb{Z}_{>0}$ con $k$ colores y una función $f:\mathbb{Z}_{\gt 0}$ a $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ con las dos propiedades siguientes: $(i)$ Para todos los enteros positivos $m,n$ del mismo color, $f(m+n)=f(m)+f(n).$ $(ii)$ Hay enteros positivos $m,n$ tales que $f(m+n)\neq f(m)+f(n).$ En una coloración de $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ con $k$ colores, cada entero está coloreado exactamente en uno de los $k$ colores. Tanto en $(i)$ como en $(ii)$ los enteros positivos $m,n$ no son necesariamente distintos.

Se consideran $2017$ rectas en el plano tales que no hay tres de ellas que pasen por el mismo punto. La hormiga Turbo se coloca en un punto de una recta (distinto de los puntos de intersección) y empieza a moverse sobre las rectas de la siguiente manera: se mueve en la recta en la que está hasta que llega al primer punto de intersección, ahí cambia de recta torciendo a la izquierda o a la derecha, alternando su elección en cada intersección a la que llega. Turbo solo puede cambiar de dirección en los puntos de intersección. ¿Puede existir un segmento de recta por el cual la hormiga viaje en ambos sentidos?

Sea $n \ge 1$ un entero y sean $t_1 \lt t_2 \lt \dots \lt t_n$ enteros positivos. En un grupo de $t_n + 1$ personas, se juegan algunas partidas de ajedrez. Dos personas pueden jugar entre sí a lo más una vez. Demuestra que es posible que las siguientes dos condiciones se den al mismo tiempo: (i) El número de partidas jugadas por cada persona es uno de los números $t_1, t_2, . . . , t_n$. (ii) Para cada $i$ con $1 \le i \le n$, hay al menos una persona que juega exactamente $t_i$ partidas de ajedrez.

Dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ del mismo radio se intersecan en dos puntos distintos $X_1$ y $X_2$. Se considera una circunferencia $\omega$ tangente exteriormente a $\omega_1$ en un punto $T_1$, y tangente interiormente a $\omega_2$ en un punto $T_2$. Demuestra que las rectas $X_1T_1$ y $X_2T_2$ se intersecan en un punto que pertenece a $\omega$.

Sea $n \ge 2$ un entero. Una $n$-tupla $(a_1, a_2, \dots , a_n)$ de enteros positivos no necesariamente distintos es costosa si existe un entero positivo $k$ tal que \[(a_1+a_2)(a_2+a_3)\dots(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)=2^{2k-1}.\] a) Encuentra todos los enteros $n \geq 2$ para los cuales existe una $n$-tupla costosa. b) Demuestra que para todo entero positivo impar $m$ existe un entero $n \geq 2$ tal que $m$ pertenece a una $n$-tupla costosa.

(a) Demuestra que para todo número real $t$ tal que $0 \lt t \lt \frac12$ existe un entero positivo $n$ con la siguiente propriedad: para todo conjunto $S$ de $n$ enteros positivos existen dos elementos distintos $x$ e $y$ de $S$, y un entero no negativo $m$ tal que $\left|x - my\right| \leq ty.$ (b) Determina si para todo número real $t$ con $0 \lt t \lt \frac12$ existe un conjunto infinito $S$ de enteros positivos tal que $\left|x - my\right| \gt ty$ para todo par de elementos distintos $x$ e $y$ de $S$ y para todo entero positivo $m$.

Sea $m$ un entero positivo. Se considera un tablero de $4m \times 4m$ casillas cuadradas. Dos casillas diferentes están relacionadas si pertenecen ya sea a la misma fila o a la misma columna. Ninguna casilla está relacionada con ella misma. Algunas casillas se colorean de azul de tal manera que cada casilla está relacionada con al menos dos casillas azules. Determina el mínimo número de casillas azules.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que cumple que $\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ}$ y $\angle ABC \gt \angle CDA$. Sean $Q$ y $R$ puntos en los segmentos $BC$ y $CD,$ respectivamente, tales que la recta $QR$ interseca las rectas $AB$ y $AD$ en los puntos $P$ y $S,$ respectivamente. Se sabe que $PQ = RS.$ Sea $M$ el punto medio de $BD$ y sea $N$ el punto medio de $QR.$ Demuestra que los puntos $M$, $N $, $A$ y $C$ están en una misma circunferencia.