Sean $a_0, a_1, a_2, \dots , a_{3030}$ enteros positivos tales que \[2a_{n + 2} = a_{n + 1} + 4a_n \text{ para todo } n = 0, 1, 2, \ldots, 3028.\] Demuestre que al menos uno de los enteros $a_0, a_1, a_2, \dots , a_{3030}$ es divisible por $2^{2020}$.

Una permutación de los enteros $1, 2, \dots , m$ se llama fresca si no existe ningún entero positivo $k \lt m$ tal que los primeros $k$ elementos de la permutación son los números $1, 2, \dots , k$ en algún orden. Sea $f_m$ el número de permutaciones frescas de los enteros $1, 2, \dots , m.$ Muestra que \[f_n \ge n \cdot f_{n-1}\] para todo $n \ge 3$.

Considere el triángulo $ABC$ con $\angle BCA \gt 90^{\circ}$. Sea $R$ el radio del circuncírculo $\Gamma$ de $ABC$. En el segmento $AB$ existe un punto $P$ con $PB = PC$ tal que la longitud de $PA$ es igual a $R$. La mediatriz de $PB$ corta a $\Gamma$ en los puntos $D$ y $E$. Demuestra que $P$ es el incentro del triángulo $CDE$.

Encuentre todas las ternas $(a, b, c)$ de números reales tales que $ab + bc + ca = 1$ y \[a^2b + c = b^2c + a = c^2a + b.\]

Sea $m \gt 1$ un entero. Se define una sucesión $a_1, a_2, a_3, \dots$ como $a_1 = a_2 = 1$, $a_3 = 4$, y para todo $n \ge 4$, \[a_n = m(a_{n - 1} + a_{n - 2}) - a_{n - 3}.\] Determina todos los enteros $m$ tales que cada término de la sucesión es un cuadrado perfecto.

Sea $n$ un entero positivo. En un tablero de $2n \times 2n$ casillas se colocan dominós de manera que cada casilla del tablero sea adyacente a exactamente una casilla cubierta por un dominó. Para cada n, determina la mayor cantidad de dominós que se pueden poner de esa manera.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle CAB \gt \angle ABC$, y sea $I$ su incentro. Sea $D$ el punto en el segmento $BC$ tal que $\angle CAD = \angle ABC$. Sea $\gamma$ la circunferencia que pasa por $I$ y es tangente a la recta $AC$ en el punto $A$. Sea $X$ el segundo punto de intersección de $\gamma$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$. Muestra que las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle CXB$ se intersecan en un punto de la recta $BC$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La circunferencia que pasa por $B$ y es tangente a la recta $AI$ en el punto $I$ corta al lado $AB$ por segunda vez en $P$. La circunferencia que pasa por $C$ y es tangente a la recta $AI$ en el punto $I$ corta al lado $AC$ por segunda vez en $Q$. Muestra que $PQ$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$.

Sea $ABC$ un triángulo con $CA = CB$ y $\angle ACB = 120^{\circ}$, y sea $M$ el punto medio de $AB$. Sea $P$ un punto variable de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$. Sea $Q$ el punto en el segmento $CP$ tal que $QP = 2 QC$. Se sabe que la recta que pasa por $P$ y que es perpendicular a la recta $AB$ interseca a la recta $MQ$ en un único punto $N $. Muestra que existe una circunferencia fija tal que $N$ se encuentra en dicha circunferencia para todas las posibles posiciones de $P$.

Alina traza $2019$ cuerdas en una circunferencia. Los puntos extremos de éstas son todos diferentes. Un punto se considera marcado si es de uno de los siguientes tipos: (i) uno de los $4038$ puntos extremos de las cuerdas; o (ii) un punto de intersección de al menos dos de las cuerdas. Alina etiqueta con un número cada punto marcado. De los $4038$ puntos del tipo (i), $2019$ son etiquetados con un $0$ y los otros $2019$ puntos con un $1$. Ella etiqueta cada punto del tipo (ii) con un entero arbitrario, no necesariamente positivo. En cada cuerda, Alina considera todos los segmentos entre puntos marcados consecutivos (si una cuerda tiene $k$ puntos marcados, entonces tiene $k - 1$ de estos segmentos). Sobre cada uno de estos segmentos, Alina escribe dos números: en amarillo escribe la suma de las etiquetas de los puntos extremos del segmento, mientras que en azul escribe el valor absoluto de su diferencia. Alina se da cuenta que los $N + 1$ números amarillos son exactamente los números $0, 1,\dots , N$. Muestra que al menos uno de los números azules es múltiplo de tres.