Sea $\mathbb N = \{1, 2, 3, . . .\}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $f : \mathbb N \to \mathbb N$ tales que para cualquier pareja de enteros positivos $a$ y $b$, se cumplen las siguientes dos condiciones: - $f(ab) = f(a)f(b)$, y - al menos dos de los números $f(a)$, $f(b)$ y $f(a + b)$ son iguales.

El número $2021$ es fantabuloso. Si para algún entero positivo $m$, alguno de los elementos del conjunto $\{m, 2m + 1, 3m\}$ es fantabuloso, entonces todos los elementos de dicho conjunto son fantabulosos. ¿Esto implica que el número $2021^{2021}$ es fantabuloso?

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ tales que la ecuación \[f(xf(x)+y) = f(y) + x^2\] se cumple para todos los números racionales $x$ y $y$.

Sea $ABC$ un triángulo con ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz exterior del ángulo $\angle BAC$ con las alturas del triángulo $ABC$ desde $B$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en los segmentos $EC$ y $FB$, respectivamente, tales que $\angle EMA = \angle BCA$ y $\angle ANF = \angle ABC$. Demuestra que los puntos $E$, $F$ , $M$ y $N$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $D$ un punto arbitrario en el lado $BC$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $BI$ interseca a $CI$ en el punto $E$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $CI$ interseca a $BI$ en el punto $F$. Demuestre que la reflexión de $A$ sobre la recta $EF$ está en la recta $BC$.

Determina si existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor = n^2 + a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m, n)$ con $m$ y $n$ enteros positivos.

Un plano tiene un punto especial $O$ llamado origen. Sea $P$ un conjunto de $2021$ puntos en el plano que cumple las siguientes dos condiciones: (i) no hay tres puntos de $P$ sobre una misma recta, (ii) no hay dos puntos de $P$ sobre una misma recta que pasa por el origen. Se dice que un triángulo con vértices en $P$ es gordo si $O$ es un punto interior de dicho triángulo. Encuentre la mayor cantidad de triángulos gordos que puede haber.

Se tienen diez monedas indistinguibles puestas en línea. Se sabe que dos de ellas son falsas y ocupan posiciones consecutivas en la línea. Para cada conjunto de posiciones, se puede preguntar cuántas monedas falsas contiene. ¿Es posible determinar cuáles son las monedas falsas efectuando únicamente dos de estas preguntas, sin conocer la respuesta de la primera antes de formular la segunda?

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $\angle A = \angle C = \angle E$ y $\angle B = \angle D = \angle F$. Además, las bisectrices interiores de los ángulos $\angle A, \angle C$ y $\angle E$ son concurrentes. Demuestra que las bisectrices interiores de los ángulos $\angle B, \angle D$ y $\angle F$ también son concurrentes.

Encuentra todas las listas $(x_1, x_2, \ldots, x_{2020})$ de números reales no negativos tales que se satisfagan las tres condiciones siguientes: - $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_{2020}$; - $x_{2020} \le x_1 + 1$; $\qquad$; - Existe una permutación $(y_1, y_2, \ldots, y_{2020})$ de $(x_1, x_2, \ldots, x_{2020})$ tal que \[\sum_{I = 1}^{2020} ((x_i + 1)(y_i + 1))^2 = 8 \sum_{i = 1}^{2020} x_i^3\]