Olimpiada Nacional de Estados Unidos 1975 Problema 2
2 Sean $ A,B,C$ y $ D$ cuatro puntos en el espacio y $ AB$ la distancia entre $ A$ y $ B$ , y así sucesivamente. Demuestra que \[ AC^2+BD^2+AD^2+BC^2 \ge AB^2+CD^2.\]
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Olimpiada Nacional de Estados Unidos 1975 Problema 3
3 Si $ P(x)$ denota un polinomio de grado $ n$ tal que $ P(k)=\frac{k}{k+1}$ para $ k=0,1,2,\ldots,n$ , determina $ P(n+1)$ .
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Olimpiada Nacional de Estados Unidos 1975 Problema 4
4 Dos círculos dados se intersecan en dos puntos \( P \) y \( Q \). Muestra cómo construir un segmento \( AB \) que pase por \( P \) y termine en los círculos, de modo que \( AP \cdot PB \) sea máximo.
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Olimpiada Nacional de Estados Unidos 1975 Problema 5
5 Una baraja de $ n$ cartas, que contiene tres ases, se baraja al azar (se supone que todas las distribuciones posibles de cartas son igualmente probables). Luego se voltean las cartas una por una desde la parte superior hasta que aparece el segundo as. Demuestra que el número esperado (promedio) de cartas que se voltean es $ (n+1)/2$ .
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Olimpiada Nacional de Estados Unidos 1974 Problema 1
1 Sean $a, b$ y $c$ tres enteros distintos, y sea $P$ un polinomio con coeficientes enteros. Demuestra que es imposible que $P(a) = b$, $P(b) = c$ y $P(c) = a$.
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Olimpiada Nacional de Estados Unidos 1974 Problema 2
2 Demuestra que si $ a,b,$ y $ c$ son números reales positivos, entonces \[ a^ab^bc^c \ge (abc)^{(a+b+c)/3}.\]
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Olimpiada Nacional de Estados Unidos 1974 Problema 3
3 Dos puntos frontera de una bola de radio 1 están unidos por una curva contenida en la bola y de longitud menor que 2. Demuestra que la curva está contenida enteramente dentro de algún hemisferio de la bola dada.
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Olimpiada Nacional de Estados Unidos 1974 Problema 4
4 Un padre, una madre y un hijo celebran un torneo familiar, jugando un juego de mesa de dos personas sin empates. Las reglas del torneo son: (i) El jugador más débil elige a los dos primeros contendientes. (ii) El ganador de cualquier partida juega la siguiente partida contra la persona que quedó fuera. (iii) La primera persona en ganar dos partidas gana el torneo. El padre es el jugador más débil, el hijo el más fuerte, y se supone que la probabilidad de que cualquier jugador gane una partida individual contra otro jugador no cambia durante el torneo. Demuestra que la estrategia óptima del padre para ganar el torneo es jugar la primera partida con su esposa.
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Olimpiada Nacional de Estados Unidos 1974 Problema 5
Considera los dos triángulos \( ABC \) y \( PQR \) que se muestran a continuación. En el triángulo \( ABC \), \( \angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 120^\circ \). Demuestra que \( x=u+v+w \).
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Olimpiada Nacional de Estados Unidos 1973 Problema 1
1 Dos puntos $ P$ y $ Q$ están en el interior de un tetraedro regular $ ABCD$ . Demuestra que el ángulo $ PAQ < 60^\circ$ .
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