Un lugar es un punto $(x,y)$ en el plano tal que $x$, $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales que $20$. Al comienzo, cada uno de los $400$ lugares está vacío. Ana y Beto colocan piedras alternadamente, comenzando con Ana. En su turno, Ana coloca una nueva piedra roja en un lugar vacío tal que la distancia entre cualesquiera dos lugares ocupados por piedras rojas es distinto de $\sqrt{5}$. En su turno, Beto coloca una nueva piedra azul en cualquier lugar vacío. (Un lugar ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro lugar ocupado.) Ellos paran cuando alguno de los dos no pueda colocar una piedra. Halla el mayor $K$ tal que Ana pueda asegurarse de colocar al menos $K$ piedras rojas, sin importar cómo Beto coloque sus piedras azules.

Sea $a_1, a_2, \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Supongamos que existe un entero $N \gt 1$ tal que para cada $n \geq N$ el número \[\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}\] es entero. Demuestra que existe un entero positivo $M$ tal que $a_m = a_{m+1}$ para todo $m \geq M$.

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $AB \cdot CD = BC \cdot DA$. El punto $X$ en el interior de $ABCD$ es tal que \[\angle{XAB} = \angle{XCD}\quad\,\,\text{y}\quad\,\,\angle{XBC} = \angle{XDA}.\] Demuestra que $\angle BXA + \angle DXC = 180^{\circ}$.

Para cada entero $a_0 \gt 1$, se define la sucesión $a_0, a_1, a_2, \dots$ tal que para cada $n \ge 0$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n}$ si $\sqrt{a_n}$ es entero, y $a_{n+1} = a_n + 3$ en otro caso. Determina todos los valores de $a_0$ para los que existe un número $A$ tal que $a_n = A$ para infinitos valores de $n$.

Un conejo invisible y un cazador juegan como sigue en el plano euclideano. El punto de partida $A_0$ del conejo, y el punto de partida $B_0$ del cazador son el mismo. Después de $n-1$ rondas del juego, el conejo se encuentra en el punto $A_{n-1}$ y el cazador se encuentra en el punto $B_{n-1}$. En la $n$-ésima ronda del juego, ocurren tres hechos en el siguiente orden: i) El conejo se mueve de forma invisible a un punto $A_n$ tal que la distancia entre $A_{n-1}$ y $A_n$ es exactamente $1$. ii) Un dispositivo de rastreo reporta un punto $P_n$ al cazador. La única información segura que da el dispositivo al cazador es que la distancia entre $P_n$ y $A_n$ es menor o igual que $1$. iii) El cazador se mueve de forma visible a un punto $B_n$ tal que la distancia entre $B_{n-1}$ y $B_n$ es exactamente $1$. ¿Es siempre posible que, cualquiera que sea la manera en que se mueva el conejo y cualesquiera que sean los puntos que reporte el dispositivo de rastreo, el cazador pueda escoger sus movimientos de modo que después de $10^9$ rondas el cazador pueda garantizar que la distancia entre él mismo y el conejo sea menor o igual que $100$?

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x, y$, $$f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).$$

Sea $N \ge 2$ un entero dado. Los $N(N + 1)$ jugadores de un grupo de futbolistas, todos de distinta estatura, se colocan en fila. Muestra que siempre es posible quitar $N(N - 1)$ jugadores de esta fila, de modo que la fila resultante formada por los 2N jugadores restantes satisfaga las $N$ condiciones siguientes: ($1$) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores más altos. ($2$) Que no quede nadie ubicado entre el tercer jugador más alto y el cuarto jugador más alto. $\vdots$ ($N$) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores de menor estatura. Demuestra que esto siempre es posible.

Un par ordenado $(x,y)$ de enteros es un punto "primitivo" si el máximo común divisor de $x,y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0,a_1,\cdots a_n$ tales que, para cada $(x,y)\in S$ se cumple: $$a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.$$

Sean $R$ y $S$ puntos distintos sobre la circunferencia $\Omega$ tales que $RS$ no es un diámetro de $\Omega$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\Omega$ en $R$. El punto $T$ es tal que $S$ es el punto medio del segmento $RT$. El punto $J$ se elige en el menor arco $RS$ de $\Omega$ de manera que $\Gamma$, la circunferencia circunscrita al triángulo $JST$, intersecta a $\ell$ en dos puntos distintos. Sea $A$ el punto común de $\Gamma$ y $\ell$ más cercano a $R$. La recta $AJ$ corta por segunda vez a $\Omega$ en $K$. Demuestra que la recta $KT$ es tangente a $\Gamma$.

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que en cada casilla de un tablero $n \times n$ se puede escribir una de las letras $I$, $M$ y $O$ de manera que: - En cada fila y en cada columna, un tercio de las casillas tiene $I$, un tercio tiene $M$ y un tercio tiene $O$; y - En cualquier línea diagonal compuesta por un número de casillas divisible por $3$, exactamente un tercio de las casillas tienen $I$, un tercio tiene $M$ y un tercio tiene $O$. Nota: Las filas y las columnas del tablero $n \times n$ se numeran desde $1$ hasta $n$, en su orden natural.