Considere una matriz binaria $M$ (todas las entradas son $0$ o $1$) en $r$ filas y $c$ columnas, donde cada fila y cada columna contienen al menos una entrada igual a $1$. Demuestre que existe una entrada $M(i,j) = 1$, tal que la suma de fila correspondiente $R(i)$ y la suma de columna $C(j)$ satisfacen $r R(i)\ge c C(j)$.

En un $\triangle ABC$ acutángulo, demuestre que\n\begin{align*}\frac{1}{3}\left(\frac{\tan^2A}{\tan B\tan C}+\frac{\tan^2 B}{\tan C\tan A}+\frac{\tan^2 C}{\tan A\tan B}\right) \\ +3\left(\frac{1}{\tan A+\tan B+\tan C}\right)^{\frac{2}{3}}\ge 2.\end{align*}

Para un número real $\alpha>0$, considere la secuencia real infinita definida por $x_1=1$ y\n$\alpha x_n = x_1+x_2+\cdots+x_{n+1} \mbox{\qquad para } n\ge1.$\nDetermine el $\alpha$ más pequeño para el cual todos los términos de esta secuencia son reales positivos.

Consideremos un sistema de infinitas esferas hechas de metal, con centros en puntos $(a, b, c) \in \mathbb Z^3$ . Decimos que el sistema es estable si la temperatura de cada esfera es igual a la temperatura promedio de las seis esferas más cercanas. Asumiendo que todas las esferas en un sistema estable tienen temperaturas entre $0^\circ C$ y $1^\circ C$ , demostrar que todas las esferas tienen la misma temperatura.

Sean $a, b, c$ números no negativos con $a+b+c = 3$ . Demostrar la desigualdad \[\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1} \geq \frac 32.\]

En un triángulo $ABC$ con $BC = CA + \frac 12 AB$ , se da un punto $P$ en el lado $AB$ tal que $BP : PA = 1 : 3$ . Demostrar que $\angle CAP = 2 \angle CPA.$

Demostrar que la ecuación $x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z + 1$ no tiene soluciones racionales.

Encuentra todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación \[ 2^x+2009=3^y5^z.\]

Encuentra todos los pares $ (m$ , $ n)$ de enteros que satisfacen la ecuación \[ (m + n)^4 = m^2n^2 + m^2 + n^2 + 6mn.\]

Suponga que $ ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y $ CD=DA$ . Los puntos $ E$ y $ F$ pertenecen a los segmentos $ AB$ y $ BC$ respectivamente, y $ \angle ADC=2\angle EDF$ . Los segmentos $ DK$ y $ DM$ son la altura y la mediana del triángulo $ DEF$ , respectivamente. $ L$ es el punto simétrico a $ K$ con respecto a $ M$ . Pruebe que las líneas $ DM$ y $ BL$ son paralelas.