Hallar un número de $3$ dígitos, sabiendo que la suma de sus dígitos es $9$ , su producto es $24$ y además el número leído de derecha a izquierda es $\frac{27}{38}$ del original.

Se juega un juego de solitario en un tablero rectangular de $m\times n$, usando $mn$ marcadores que son blancos por un lado y negros por el otro. Inicialmente, cada cuadrado del tablero contiene un marcador con su lado blanco hacia arriba, excepto por un cuadrado de esquina, que contiene un marcador con su lado negro hacia arriba. En cada movimiento, uno puede quitar un marcador con su lado negro hacia arriba, pero luego debe voltear todos los marcadores que están en cuadrados que tienen un borde en común con el cuadrado del marcador removido. Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos tales que todos los marcadores pueden ser removidos del tablero.

Diez puntos están marcados en el plano de modo que no hay tres de ellos en una línea. Cada par de puntos está conectado con un segmento. Cada uno de estos segmentos está pintado con uno de $k$ colores, de tal manera que para cualquier $k$ de los diez puntos, hay $k$ segmentos, cada uno uniendo dos de ellos y no habiendo dos pintados con el mismo color. Determine todos los enteros $k$ , $1\leq k\leq 10$ , para los cuales esto es posible.

En un concurso, hay $m$ candidatos y $n$ jueces, donde $n\geq 3$ es un entero impar. Cada candidato es evaluado por cada juez como aprobado o reprobado. Suponga que cada par de jueces está de acuerdo en como máximo $k$ candidatos. Demuestre que \[{\frac{k}{m}} \geq {\frac{n-1}{2n}}. \]

Sea $U=\{1,2,\ldots ,n\}$ , donde $n\geq 3$ . Se dice que un subconjunto $S$ de $U$ está dividido por una disposición de los elementos de $U$ si un elemento que no está en $S$ aparece en la disposición en algún lugar entre dos elementos de $S$ . Por ejemplo, 13542 divide a $\{1,2,3\}$ pero no a $\{3,4,5\}$ . Demuestre que para cualquier $n-2$ subconjuntos de $U$ , cada uno conteniendo al menos 2 y como máximo $n-1$ elementos, existe una disposición de los elementos de $U$ que los divide a todos.

Sea $n$ un entero mayor que 2. Se dice que un entero positivo es alcanzable si es 1 o se puede obtener de 1 mediante una secuencia de operaciones con las siguientes propiedades:\n1.) La primera operación es suma o multiplicación.\n2.) A partir de entonces, las sumas y multiplicaciones se utilizan alternativamente.\n3.) En cada suma, uno puede elegir independientemente si sumar 2 o $n$\n4.) En cada multiplicación, uno puede elegir independientemente si multiplicar por 2 o por $n$ .\nSe dice que un entero positivo que no se puede obtener de esta manera es inalcanzable .\na.) Demuestre que si $n\geq 9$ , hay infinitos enteros positivos inalcanzables.\nb.) Demuestre que si $n=3$ , todos los enteros positivos excepto 7 son alcanzables.

Se da una matriz rectangular de números. En cada fila y cada columna, la suma de todos los números es un entero. Demuestre que cada número no entero $x$ en la matriz puede cambiarse a $\lceil x\rceil $ o $\lfloor x\rfloor $ de modo que las sumas de las filas y las columnas permanezcan sin cambios. (Tenga en cuenta que $\lceil x\rceil $ es el entero menor o igual a $x$ , mientras que $\lfloor x\rfloor $ es el entero mayor o igual a $x$ .)

Denotemos $f(1)=a$ , y pongamos $m=n=1$ , por lo tanto $f(f(k))=a^{2}k$ y $f(ak^{2})=f^{2}(k)$ , $\forall k \in \mathbb{N}$ . Así que ahora, tenemos: $f^{2}(x) f^{2}(y)=f^{2}(x)f(ay^{2})=f(x^{2}f(f(ay^{2})))=$ $=f(x^{2}a^{3}y^{2})=f(a(axy)^{2})=f^{2}(axy)$ $\iff f(axy)=f(x)f(y) \Rightarrow f(ax)=af(x)$ $\iff af(xy)=f(x)f(y) , \forall x,y \in \mathbb{N}$ . Ahora podemos probar fácilmente que $f(x)$ es divisible por $a$ para cada $x$ , más probablemente tenemos que $f^{k}(x)=a^{k-1}\cdot f(x^{k})$ es divisible por $a^{k-1}$ . Para probar la aseveración anterior consideramos $p^{\alpha}$ y $p^{\beta}$ las potencias exactas de un primo $p$ que dividen a $f(x)$ y $a$ respectivamente, por lo tanto $k\alpha \geq (k-1)\beta , \forall k \in \mathbb{N}$ , por lo tanto $\alpha\geq \beta$ , así que $f(x)$ es divisible por $a$ . Ahora solo consideramos la función $g(x)=\frac{f(x)}{a}$ . Entonces: $g(1)=1, g(xy)=g(x)g(y), g(g(x))=x$ . Dado que $g(x)$ respeta la condición inicial del problema y $g(x)\leq f(x)$ , afirmamos que es suficiente encontrar el valor mínimo de $g(1998)$ . Dado que $g(1998)=g(2 \cdot 3^{3}\cdot 37) =g(2) \cdot g^{3}(3)\cdot g(37)$ , y $g(2),g(3),g(37)$ son números primos distintos (la prueba sigue fácilmente), tenemos que $g(1998)$ , no es menor que $2^{3}\cdot 3 \cdot 5=120$ . Pero $g$ siendo una biyección, el valor $120$ , se obtiene para cualquier $g$ , así que tenemos que $g(2)=3, g(3)=2, g(5)=37, g(37)=5$ , por lo tanto la respuesta es $120$ , y por lo tanto el problema está resuelto!

Sean $x,y$ y $z$ números reales positivos tales que $xyz=1$ . Demostrar que \[ \frac{x^{3}}{(1 + y)(1 + z)}+\frac{y^{3}}{(1 + z)(1 + x)}+\frac{z^{3}}{(1 + x)(1 + y)} \geq \frac{3}{4}. \]

Sean $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}$ números reales mayores o iguales que 1. Demuestre que \[ \frac{1}{r_{1} + 1} + \frac{1}{r_{2} + 1} + \cdots +\frac{1}{r_{n}+1} \geq \frac{n}{ \sqrt[n]{r_{1}r_{2} \cdots r_{n}}+1}. \]