Usando solo un ángulo con ángulo $\frac{\pi}{7}$ y una regla, construir el ángulo $\frac{\pi}{14}$

¿Es posible pintar todos los números naturales en $6$ colores, de modo que se use cada color y la suma de cinco números de diferente color se pinte con el sexto color?

Resolver en números naturales el sistema de ecuaciones $3x^2+6y^2+5z^2=1997$ y $3x+6y+5z=161$.

El producto de cualesquiera tres de estos cuatro números naturales es un cuadrado perfecto. Demuestra que estos números son en sí mismos cuadrados perfectos.

En un tablero de $8 \times 8$ existen $64$ reyes, todos inicialmente colocados en diferentes casillas. Arnaldo y Bernaldo juegan alternadamente, comenzando Arnaldo. En cada movimiento, uno de los dos jugadores elige un rey y puede moverlo una casilla a la derecha, una casilla hacia arriba, o una casilla hacia arriba a la derecha. En el caso de que un rey sea movido a una casilla ocupada, ambos reyes son retirados del juego. El jugador que pueda remover dos de los últimos reyes o dejar un último rey en la esquina superior derecha gana el juego. ¿Cuál de los dos jugadores puede asegurar la victoria?

Una permutación de $\{1, 2 \cdots, n \}$ es mágica si cada elemento $k$ de ella tiene al menos $\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor$ números menores a él a la izquierda. Para cada $n$ hallar el número de permutaciones mágicas.

Sea $N$ un entero positivo con $2k$ dígitos. Sus trozos se definen como los dos números formados por los dígitos del $1$ al $k$ y del $k+1$ al $2k$ (por ejemplo, los trozos de 142856 son 142 y 856). Definimos el inverso de $N$ como el número formado al intercambiar sus trozos (por ejemplo, el inverso de 142856 es 856142 y para 1401 es 114). Llamamos cearense a un número si satisface las siguientes condiciones:\nTiene un número par de dígitos\nSus trozos son primos relativos\nDivide a su inverso\nEncuentra los dos enteros cearenses más pequeños.

Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $3^n - 2^n - 1$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $A_1$ y $A_2$ puntos en el lado $BC, B_1$ y $B_2$ puntos en el lado $CA$ y $C_1$ y $C_2$ puntos en el lado $AB$ tales que $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ es un hexágono convexo y que $B,A_1,A_2$ y $C$ están ubicados en ese orden en el lado $BC$ . Decimos que los triángulos $AB_2C_1, BA_1C_2$ y $CA_2B_1$ son pegables si existe un triángulo $PQR$ y existen $X,Y$ y $Z$ en los lados $QR, RP$ y $PQ$ respectivamente, tales que el triángulo $AB_2C_1$ es congruente en ese orden al triángulo $PYZ$ , el triángulo $BA_1C_2$ es congruente en ese orden al triángulo $QXZ$ y el triángulo $CA_2B_1$ es congruente en ese orden al triángulo $RXY$ . Demostrar que los triángulos $AB_2C_1, BA_1C_2$ y $CA_2B_1$ son pegables si y sólo si los centroides de los triángulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ coinciden.

Demostrar que existen infinitos cuádruplos de enteros positivos $(a,b,c,d)$ , tales que $ab+1$ , $bc+16$ , $cd+4$ , $ad+9$ son cuadrados perfectos