En el trapecio $ABCD$, la suma de las longitudes de las bases $AB$ y $CD$ es igual a la longitud de la diagonal $BD$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, y sea $E$ la reflexión de $C$ sobre la línea $DM$. Pruebe que $\angle AEB=\angle ACD$ .

En un triángulo $ ABC$ , sean $ M_{a}$ , $ M_{b}$ , $ M_{c}$ los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente, y $ T_{a}$ , $ T_{b}$ , $ T_{c}$ los puntos medios de los arcos $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de la circunferencia circunscrita de $ ABC$ , que no contienen los vértices $ A$ , $ B$ , $ C$ , respectivamente. Para $ i \in \left\{a, b, c\right\}$ , sea $ w_{i}$ la circunferencia con $ M_{i}T_{i}$ como diámetro. Sea $ p_{i}$ la tangente externa común a las circunferencias $ w_{j}$ y $ w_{k}$ (para todo $ \left\{i, j, k\right\}= \left\{a, b, c\right\}$ ) tal que $ w_{i}$ se encuentra en el lado opuesto de $ p_{i}$ que $ w_{j}$ y $ w_{k}$ . Demuestra que las rectas $ p_{a}$ , $ p_{b}$ , $ p_{c}$ forman un triángulo similar a $ ABC$ y encuentra la razón de similitud.

Demuestre la desigualdad: \n\[\sum_{i < j}{\frac {a_{i}a_{j}}{a_{i} + a_{j}}}\leq \frac {n}{2(a_{1} + a_{2} +\cdots + a_{n})}\cdot \sum_{i < j}{a_{i}a_{j}}\] para números reales positivos $ a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ .

Hallar todos los números $n$ que pueden expresarse en la forma $n=k+2\lfloor\sqrt{k}\rfloor+2$ para algún entero no negativo $k$ .

Sean $ a > b > 1$ enteros positivos relativamente primos. Define el peso de un entero $ c$ , denotado por $ w(c)$ como el valor mínimo posible de $ |x| + |y|$ tomado sobre todos los pares de enteros $ x$ e $ y$ tales que\n\[ax + by = c.\]\nUn entero $ c$ es llamado un campeón local si $ w(c) \geq w(c \pm a)$ y $ w(c) \geq w(c \pm b)$ . Encuentra todos los campeones locales y determina su número.

Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación\n\[\frac {x^{7} - 1}{x - 1} = y^{5} - 1.\]

Definimos una secuencia $ \left(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \right)$ por\n\[ a_{n} = \frac {1}{n}\left(\left\lfloor\frac {n}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac {n}{2}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac {n}{n}\right\rfloor\right),\n\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$ .\na) Demuestra que $a_{n+1}>a_n$ infinitamente seguido.\nb) Demuestra que $a_{n+1}<a_n$ infinitamente seguido.

Asigne a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima de un triángulo que tiene a $b$ como lado y está contenido en $P$ . Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos dos veces el área de $P$ .

Se eligen 9 puntos $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ en los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de un triángulo $ ABC$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ AB_{1}C_{1}$ , $ BC_{1}A_{1}$ , $ CA_{1}B_{1}$ se intersectan con la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC$ nuevamente en los puntos $ A_{2}$ , $ B_{2}$ , $ C_{2}$ respectivamente ( $ A_{2}\neq A, B_{2}\neq B, C_{2}\neq C$ ) . Los puntos $ A_{3}$ , $ B_{3}$ , $ C_{3}$ son simétricos a $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ con respecto a los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ respectivamente. Demuestre que los triángulos $ A_{2}B_{2}C_{2}$ y $ A_{3}B_{3}C_{3}$ son similares.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Una circunferencia que pasa por los puntos $A$ y $D$ y una circunferencia que pasa por los puntos $B$ y $C$ son tangentes externamente en un punto $P$ dentro del cuadrilátero. Suponga que $\[\angle{PAB}+\angle{PDC}\leq 90^\circ\qquad\text{y}\qquad\angle{PBA}+\angle{PCD}\leq 90^\circ.\] Demuestra que $AB+CD \geq BC+AD$ .