Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , sean las diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en $E$ y las líneas $AD$ y $BC$ se encuentran en $F$ . Los puntos medios de $AB$ y $CD$ son $G$ y $H$ , respectivamente. Demuestre que $EF$ es tangente en $E$ al círculo que pasa por los puntos $E$ , $G$ y $H$ .

Sea $ABC$ un triángulo. El incírculo de $ABC$ toca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $Z$ e $Y$ , respectivamente. Sea $G$ el punto donde las líneas $BY$ y $CZ$ se encuentran, y sean $R$ y $S$ puntos tales que los dos cuadriláteros $BCYR$ y $BCSZ$ son paralelogramos. Pruebe que $GR=GS$ .

Sea $ ABC$ un triángulo con circuncentro $ O$ . Los puntos $ P$ y $ Q$ son puntos interiores de los lados $ CA$ y $ AB$ respectivamente. Sean $ K,L$ y $ M$ los puntos medios de los segmentos $ BP,CQ$ y $ PQ$ . respectivamente, y sea $ \Gamma$ el círculo que pasa por $ K,L$ y $ M$ . Suponga que la línea $ PQ$ es tangente al círculo $ \Gamma$ . Demuestre que $ OP = OQ.$

Para cualquier entero $n\geq 2$ , calculamos el entero $h(n)$ aplicando el siguiente procedimiento a su representación decimal. Sea $r$ el dígito más a la derecha de $n$ . Si $r=0$ , entonces la representación decimal de $h(n)$ resulta de la representación decimal de $n$ eliminando este dígito más a la derecha $0$ . Si $1\leq r \leq 9$ dividimos la representación decimal de $n$ en una parte derecha máxima $R$ que consiste únicamente en dígitos no menores que $r$ y en una parte izquierda $L$ que está vacía o termina con un dígito estrictamente menor que $r$ . Entonces la representación decimal de $h(n)$ consiste en la representación decimal de $L$ , seguida de dos copias de la representación decimal de $R-1$ . Por ejemplo, para el número $17,151,345,543$ , tendremos $L=17,151$ , $R=345,543$ y $h(n)=17,151,345,542,345,542$ . Demuestre que, comenzando con un entero arbitrario $n\geq 2$ , la aplicación iterada de $h$ produce el entero $1$ después de un número finito de pasos.

En un tablero de $999\times 999$ , una torre coja puede moverse de la siguiente manera: Desde cualquier casilla puede moverse a cualquiera de sus casillas adyacentes, es decir, una casilla que tenga un lado en común con ella, y cada movimiento debe ser un giro, es decir, las direcciones de dos movimientos consecutivos cualesquiera deben ser perpendiculares. Una ruta no intersecante de la torre coja consiste en una secuencia de casillas diferentes por pares que la torre coja puede visitar en ese orden mediante una secuencia admisible de movimientos. Tal ruta no intersecante se llama cíclica, si la torre coja puede, después de llegar a la última casilla de la ruta, moverse directamente a la primera casilla de la ruta y comenzar de nuevo. ¿Cuántas casillas visita la ruta cíclica no intersecante más larga posible de una torre coja?

Cinco cubos vacíos idénticos de $2$ litros de capacidad se encuentran en los vértices de un pentágono regular. Cenicienta y su malvada madrastra pasan por una secuencia de rondas: Al comienzo de cada ronda, la madrastra toma un litro de agua del río cercano y lo distribuye arbitrariamente sobre los cinco cubos. Luego, Cenicienta elige un par de cubos vecinos, los vacía al río y los vuelve a colocar. Entonces comienza la siguiente ronda. El objetivo de la madrastra es hacer que uno de estos cubos se desborde. El objetivo de Cenicienta es evitar esto. ¿Puede la malvada madrastra forzar el desbordamiento de un cubo?

Para un entero $m\geq 1$ , consideramos particiones de un tablero de ajedrez de $2^m\times 2^m$ en rectángulos que consisten en celdas del tablero de ajedrez, en el que cada una de las $2^m$ celdas a lo largo de una diagonal forma un rectángulo separado de longitud lateral $1$ . Determine la suma más pequeña posible de los perímetros de los rectángulos en tal partición.

Sea $n$ un entero positivo. Dada una sucesión $\varepsilon_1$ , $\dots$ , $\varepsilon_{n - 1}$ con $\varepsilon_i = 0$ o $\varepsilon_i = 1$ para cada $i = 1$ , $\dots$ , $n - 1$ , las sucesiones $a_0$ , $\dots$ , $a_n$ y $b_0$ , $\dots$ , $b_n$ se construyen mediante las siguientes reglas: \[a_0 = b_0 = 1, \quad a_1 = b_1 = 7,\] \[\begin{array}{lll}\n\t a_{i+1} = \n\t \begin{cases}\n\t\t 2a_{i-1} + 3a_i, \\\n\t\t 3a_{i-1} + a_i, \n\t \end{cases} & \n\t \begin{array}{l} \n\t\t\t \text{si } \varepsilon_i = 0, \\\n\t\t\t \text{si } \varepsilon_i = 1, \end{array} \n\t & \text{para cada } i = 1, \dots, n - 1, \\\\n\t b_{i+1}= \n\t \begin{cases}\n\t\t 2b_{i-1} + 3b_i, \\\n\t\t 3b_{i-1} + b_i, \n\t \end{cases} & \n\t \begin{array}{l} \n\t\t\t \text{si } \varepsilon_{n-i} = 0, \\\n\t\t\t \text{si } \varepsilon_{n-i} = 1, \end{array} \n\t & \text{para cada } i = 1, \dots, n - 1.\n\t\end{array}\] Demuestre que $a_n = b_n$ .

Para cualquier entero $n\geq 2$ , sea $N(n)$ el número máximo de ternas $(a_i, b_i, c_i)$ , $i=1, \ldots, N(n)$ , que consisten en enteros no negativos $a_i$ , $b_i$ y $c_i$ tales que se satisfacen las siguientes dos condiciones: $a_i+b_i+c_i=n$ para todo $i=1, \ldots, N(n)$ , Si $i\neq j$ entonces $a_i\neq a_j$ , $b_i\neq b_j$ y $c_i\neq c_j$ Determine $N(n)$ para todo $n\geq 2$ .

Sea $ ABC$ un triángulo con $ AB = AC$ . Las bisectrices de $ \angle C AB$ y $ \angle AB C$ se encuentran con los lados $ B C$ y $ C A$ en $ D$ y $ E$ , respectivamente. Sea $ K$ el incentro del triángulo $ ADC$ . Suponga que $ \angle B E K = 45^\circ$ . Encuentre todos los valores posibles de $ \angle C AB$ .