Sea $Q$ un cuadrado unitario en el plano: $Q = [0, 1] \times [0, 1]$ . Sea $T :Q \longrightarrow Q$ definida como sigue: \[T(x, y) =\begin{cases} (2x, \frac{y}{2}) &\mbox{ si } 0 \le x \le \frac{1}{2};\\(2x - 1, \frac{y}{2}+ \frac{1}{2})&\mbox{ si } \frac{1}{2} < x \le 1.\end{cases}\] Mostrar que para cada disco $D \subset Q$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(D) \cap D \neq \emptyset.$

En un plano se dan tres puntos $P,Q,R,$ no alineados. Sean $k, l, m$ números positivos. Construir un triángulo $ABC$ cuyos lados pasen por $P, Q,$ y $R$ tal que $P$ divida el segmento $AB$ en la razón $1 : k$, $Q$ divida el segmento $BC$ en la razón $1 : l$, y $R$ divida el segmento $CA$ en la razón $1 : m.$

Una caja con forma de paralelepípedo se puede llenar completamente con cubos de lado $1$. Si colocamos en ella el máximo número posible de cubos, cada uno de volumen $2$, con los lados paralelos a los de la caja, entonces exactamente el $40$ por ciento del volumen de la caja está ocupado. Determinar las posibles dimensiones de la caja.

Consideramos el siguiente sistema con $q=2p$ : \[\begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1q}x_{q}=0,\\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2q}x_{q}=0,\\ \ldots ,\\ a_{p1}x_{1}+\ldots+a_{pq}x_{q}=0,\\ \end{matrix}\] en el que cada coeficiente es un elemento del conjunto $\{-1,0,1\}$. Probar que existe una solución $x_{1}, \ldots,x_{q}$ para el sistema con las propiedades: a.) todos los $x_{j}, j=1,\ldots,q$ son enteros $;$ b.) existe al menos un j para el cual $x_{j} \neq 0;$ c.) $|x_{j}| \leq q$ para cualquier $j=1, \ldots ,q.$

Sea $0 \le x_1 \le x_2\le\cdots\le x_n \le 1$. Probar que para todo $A \ge 1$, existe un intervalo $I$ de longitud $2\sqrt[n]{A}$ tal que para todo $x \in I$, \[|(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x -x_n)| \le A.\]

Probar que en un plano euclidiano hay infinitos círculos concéntricos $C$ tales que todos los triángulos inscritos en $C$ tienen al menos un lado irracional.

Se da un pentágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5$ con longitud de lado $s$. En cada punto $A_i$, se construye una esfera $K_i$ de radio $\frac{s}{2}$. Hay dos esferas $K_1$ y $K_2$, cada una de radio $\frac{s}{2}$, que tocan a todas las cinco esferas $K_i$. Decidir si $K_1$ y $K_2$ se intersecan, se tocan o no tienen puntos en común.

Hallar el mayor número real positivo $p$ (si existe) tal que la desigualdad \[x^2_1+ x_2^2+ \cdots + x^2_n\ge p(x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_{n-1}x_n)\] se cumple para todos los números reales $x_i$, y $(a) n = 2; (b) n = 5.$ Hallar el mayor número real positivo $p$ (si existe) tal que la desigualdad se cumple para todos los números reales $x_i$ y todos los números naturales $n, n \ge 2.$

Sea $(a_n), n = 0, 1, . . .,$ una secuencia de números reales tal que $a_0 = 0$ y \n\[a^3_{n+1} = \frac{1}{2} a^2_n -1, n= 0, 1,\cdots\] Demuestra que existe un número positivo $q, q < 1$ , tal que para todos los $n = 1, 2, \ldots ,$ \n\[|a_{n+1} - a_n| \leq q|a_n - a_{n-1}|,\] y da un tal $q$ explícitamente.

Para un entero positivo $n$ , sea $6^{(n)}$ el número natural cuya representación decimal consiste en $n$ dígitos $6$ . Definamos, para todos los números naturales $m$ , $k$ con $1 \leq k \leq m$ \n\[\left[\begin{array}{ccc}m\\ k\end{array}\right] =\frac{ 6^{(m)} 6^{(m-1)}\cdots 6^{(m-k+1)}}{6^{(1)} 6^{(2)}\cdots 6^{(k)}} .\] Demuestra que para todos los $m, k$ , $ \left[\begin{array}{ccc}m\\ k\end{array}\right] $ es un número natural cuya representación decimal consiste en exactamente $k(m + k - 1) - 1$ dígitos.