Sea $k$ un entero positivo. Rico McPato posee $k$ monedas de oro. También posee infinitas cajas $B_1, B_2, B_3, \ldots$ Inicialmente, la caja $B_1$ contiene una moneda, y las $k-1$ monedas restantes están en la mesa de McPato, fuera de cada caja. Entonces, Rico McPato se permite hacer el siguiente tipo de operaciones, tantas veces como quiera: - si dos cajas consecutivas $B_i$ y $B_{i+1}$ contienen ambas una moneda, McPato puede quitar la moneda contenida en la caja $B_{i+1}$ y ponerla en su mesa; - si una caja $B_i$ contiene una moneda, la caja $B_{i+1}$ está vacía, y McPato todavía tiene al menos una moneda en su mesa, puede tomar tal moneda y ponerla en la caja $B_{i+1}$ . Como función de $k$ , ¿cuáles son los enteros $n$ para los cuales Rico McPato puede poner una moneda en la caja $B_n$ ?

Sea $P(X) = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0$ un polinomio con coeficientes reales tal que $0 \leqslant a_i \leqslant a_0$ para $i = 1, 2, \ldots, n$ . Demuestra que, si $P(X)^2 = b_{2n} X^{2n} + b_{2n-1} X^{2n-1} + \cdots + b_{n+1} X^{n+1} + \cdots + b_1 X + b_0$ , entonces $4 b_{n+1} \leqslant P(1)^2$ .

Encuentra todos los enteros $n \geqslant 0$ tales que $20n+2$ divide a $2023n+210$ .

Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos círculos con centros $O$ y $O'$ , tales que $O$ pertenece a $\Gamma'$ . Sea $M$ un punto en $\Gamma'$ , fuera de $\Gamma$ . Las tangentes a $\Gamma$ que pasan por $M$ tocan $\Gamma$ en dos puntos $A$ y $B$ , y cruzan $\Gamma'$ de nuevo en dos puntos $C$ y $D$ . Finalmente, sea $E$ el punto de cruce de las líneas $AB$ y $CD$ . Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $CEO'$ y $DEO'$ son tangentes a $\Gamma'$ .

En su pizarra, Alicia ha escrito $n$ enteros estrictamente mayores que $1$ . Entonces, ella puede, tan a menudo como quiera, borrar dos números $a$ y $b$ tales que $a \neq b$ , y reemplazarlos con $q$ y $q^2$ , donde $q$ es el producto de los factores primos de $ab$ (cada factor primo se cuenta solo una vez). Por ejemplo, si Alicia borra los números $4$ y $6$ , los factores primos de $ab = 2^3 \times 3$ son $2$ y $3$ , y Alicia escribe $q = 6$ y $q^2 =36$ . Demuestra que, después de un tiempo, y sea cual sea la estrategia de Alicia, la lista de números escritos en la pizarra nunca cambiará más. Nota: El orden de los números de la lista no es importante.

Sean $u_0, u_1, u_2, \ldots$ enteros tales que $u_0 = 100$ ; $u_{k+2} \geqslant 2 + u_k$ para todo $k \geqslant 0$ ; y $u_{\ell+5} \leqslant 5 + u_\ell$ para todo $\ell \geqslant 0$ . Encuentra todos los valores posibles para el entero $u_{2023}$ .

Suponga que se eligen aleatoriamente n números $x_1, x_2, . . . , x_n$ del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ . Demuestre que la probabilidad de que $x_1^2+ x_2^2 +\cdots+ x_n^2 \equiv 0 \pmod 5$ es al menos $\frac 15.$

Dado cualquier triángulo $ABC$ y cualquier entero positivo $n$ , decimos que $n$ es un número descomponible para el triángulo $ABC$ si existe una descomposición del triángulo $ABC$ en $n$ subtriángulos con cada subtriángulo similar a $\triangle ABC$ . Determine los enteros positivos que son números descomponibles para cada triángulo.

Una sucesión $\{an\}$ de enteros positivos se define por\n\[a_n=\left[ n +\sqrt n + \frac 12 \right] , \qquad \forall n \in \mathbb N\] Determine los enteros positivos que aparecen en la secuencia.

Sea $S = {\frac{\pi^n}{1992^m} | m,n \in \mathbb Z }.$ Demuestre que todo número real $x \geq 0$ es un punto de acumulación de $S.$