Sea $\mathbb{Z}_{\ge 0}$ el conjunto de todos los enteros no negativos. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{Z}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 0} $ que satisfacen la relación \[ f(f(f(n))) = f(n+1 ) +1 \] para todo $ n\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ .

Sea $n$ un entero positivo, y considera una sucesión $a_1 , a_2 , \dotsc , a_n$ de enteros positivos. Extiéndela periódicamente a una sucesión infinita $a_1 , a_2 , \dotsc$ definiendo $a_{n+i} = a_i$ para todo $i \ge 1$. Si \[a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n \le a_1 +n \] y \[a_{a_i } \le n+i-1 \quad\text{para}\quad i=1,2,\dotsc, n, \] demuestra que \[a_1 + \dots +a_n \le n^2. \]

Sea $\mathbb Q_{>0}$ el conjunto de todos los números racionales positivos. Sea $f:\mathbb Q_{>0}\to\mathbb R$ una función que satisface las siguientes tres condiciones: (i) para todo $x,y\in\mathbb Q_{>0}$, tenemos $f(x)f(y)\geq f(xy)$ ; (ii) para todo $x,y\in\mathbb Q_{>0}$, tenemos $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ ; (iii) existe un número racional $a>1$ tal que $f(a)=a$. Demuestra que $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb Q_{>0}$.

Demuestra que en cualquier conjunto de $2000$ números reales distintos existen dos pares $a>b$ y $c>d$ con $a \neq c$ o $b \neq d$, tales que \[ \left| \frac{a-b}{c-d} - 1 \right|< \frac{1}{100000}. \]

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, \ldots, a_{n-1}$ números reales arbitrarios. Define las sucesiones $u_0, \ldots, u_n$ y $v_0, \ldots, v_n$ inductivamente por $u_0 = u_1 = v_0 = v_1 = 1$, y $u_{k+1} = u_k + a_k u_{k-1}$, $v_{k+1} = v_k + a_{n-k} v_{k-1}$ para $k=1, \ldots, n-1.$ Demuestra que $u_n = v_n.$

Encuentra el menor entero positivo tal que la suma de sus dígitos es $2011$ y el producto de sus dígitos es una potencia de $6$.

Encuentra todos los primos $p$ tales que existen enteros positivos $x,y$ que satisfacen $x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p$

Resuelve en enteros positivos la ecuación $1005^x + 2011^y = 1006^z$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y puntos $E$ y $F$ en los lados $AB,CD$ tales que $\tfrac{AB}{AE}=\tfrac{CD}{DF}=n$. Si $S$ es el área de $AEFD$ demuestra que ${S\leq\frac{AB\cdot CD+n(n-1)AD^2+n^2DA\cdot BC}{2n^2}}$

Dentro del cuadrado ${ABCD}$, se construye el triángulo equilátero $\vartriangle ABE$. Sea ${M}$ un punto interior del triángulo $\vartriangle ABE$ tal que $MB=\sqrt{2}$, $MC=\sqrt{6}$, $MD=\sqrt{5}$ y ${ME=\sqrt{3}}$. Encuentra el área del cuadrado ${ABCD}$.