La escalera mecánica de la estación champion butcher tiene esta propiedad que si $m$ personas están en ella, entonces su velocidad es $m^{-\alpha}$ donde $\alpha$ es un número real positivo fijo. Suponga que $n$ personas quieren subir por la escalera mecánica y el ancho de las escaleras es tal que todas las personas pueden pararse en una escalera. Si la longitud de la escalera mecánica es $l$ , ¿cuál es el tiempo mínimo que se necesita para que estas personas suban? ¿Por qué?

Hemos conectado cuatro piezas de metal entre sí de tal manera que han formado un tetrágono en el espacio y también el ángulo entre dos piezas de metal conectadas puede variar. En el caso de que el tetrágono no pueda ser puesto en el plano, hemos marcado un punto en cada una de las piezas de tal manera que todos están en un plano. Pruebe que a medida que el tetrágono varía, esos cuatro puntos permanecen en un plano.

a) Pruebe que para cada número natural $n$ y $k$ , tenemos polinomios mónicos de grado $n$ , con coeficientes enteros como $A=\{P_1(x),.....,P_k(x)\}$ tal que no hay dos de ellos que tengan un factor común y para cada subconjunto de $A$ , la suma de los elementos de $A$ tiene todas sus raíces reales. b) ¿Existen infinitos polinomios mónicos de grado $n$ con coeficientes enteros como $P_1(x),P_2(x),....$ tal que no hay dos de ellos que tengan un factor común y la suma de un número finito de ellos tiene todas sus raíces reales?

Un dodecaedro regular es un poliedro convexo cuyas caras son pentágonos regulares. El dodecaedro regular tiene veinte vértices y hay tres aristas conectadas a cada vértice. Suponga que hemos marcado diez vértices del dodecaedro regular. a) pruebe que podemos rotar el dodecaedro de tal manera que a lo sumo cuatro vértices marcados vayan a un lugar que antes tenía un vértice marcado. b) pruebe que el número cuatro en la parte anterior no puede ser reemplazado por tres.

$f(x)$ es un polinomio mónico de grado $2$ con coeficientes enteros tal que $f(x)$ no tiene raíces reales y también $f(0)$ es un entero libre de cuadrados (y no es $1$ ni $-1$ ). Pruebe que para cada entero $n$ el polinomio $f(x^n)$ es irreducible sobre $\mathbb Z[x]$ .

Para números reales positivos $a,b$ y $c$ tenemos $a+b+c=3$ . Pruebe $\frac{a}{1+(b+c)^2}+\frac{b}{1+(a+c)^2}+\frac{c}{1+(a+b)^2}\le \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$ .

Definimos el polinomio $f(x)$ en $\mathbb R[x]$ de la siguiente manera: $f(x)=x^n+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+.....+a_1x+a_0$ Pruebe que existe un $i$ en el conjunto $\{1,....,n\}$ tal que tenemos $|f(i)|\ge \frac{n!}{\binom{n}{i}}$ .

Para números reales no negativos $x,y,z$ y $t$ sabemos que $|x-y|+|y-z|+|z-t|+|t-x|=4$ . Encuentre el mínimo de $x^2+y^2+z^2+t^2$ .

Definimos el polinomio recursivo $T_n(x)$ de la siguiente manera: $T_0(x)=1$ $T_1(x)=x$ $T_{n+1}(x)=2xT_n(x)+T_{n-1}(x)$ $\forall n \in \mathbb N$ . a) encuentre $T_2(x),T_3(x),T_4(x)$ y $T_5(x)$ . b) encuentre todas las raíces del polinomio $T_n(x)$ $\forall n \in \mathbb N$ .

Dado el triángulo $ABC$ , $D$ es el pie de la bisectriz del ángulo externo de $A$ , $I$ su incentro e $I_a$ su $A$ - excentro. La perpendicular desde $I$ a $DI_a$ intersecta el circuncírculo del triángulo en $A'$ . Defina $B'$ y $C'$ similarmente. Pruebe que $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes.