Un subconjunto $S$ de números reales positivos se llama poderoso si para cualesquiera dos elementos distintos $a, b$ de $S$ , al menos uno de $a^{b}$ o $b^{a}$ también es un elemento de $S$ . a) Dé un ejemplo de un conjunto poderoso de cuatro elementos. b) Pruebe que todo conjunto poderoso finito tiene como máximo cuatro elementos.

Encuentre todos los enteros positivos $(m,n)$ tales que \[n^{n^{n}}=m^{m}.\]

Sean $ x,y,z $ tres números reales no negativos tales que \[x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx). \] Pruebe que \[\dfrac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{2xyz}.\]

Sea $ABCD$ un cuadrado. Sean $N,P$ dos puntos en los lados $AB, AD$ , respectivamente, tales que $NP=NC$ , y sea $Q$ un punto en $AN$ tal que $\angle QPN = \angle NCB$ . Pruebe que \[ \angle BCQ = \dfrac{1}{2} \angle AQP .\]

Una cesta se llama 'Cesta de Cosas' si incluye $10$ kilogramos de arroz y $30$ huevos. Un mercado debe distribuir $100$ Cestas de Cosas. Se sabe que hay un total de $1000$ kilogramos de arroz y $3000$ huevos en las cestas, pero algunas de las cestas del mercado incluyen más o menos cantidad de arroz o huevos. En cada paso, los trabajadores del mercado pueden seleccionar dos cestas y mover una cantidad arbitraria de arroz o huevos entre las cestas seleccionadas. Partiendo de una situación arbitraria, ¿cuál es el número mínimo de pasos que los trabajadores deben realizar para proporcionar $100$ Cestas de Cosas?

Encuentre todos los polinomios $ p\in\mathbb Z[x]$ tales que $ (m,n)=1\Rightarrow (p(m),p(n))=1$

El incírculo del triángulo $ ABC$ toca $ AB,AC$ en $ P,Q$ . $ BI, CI$ intersecan con $ PQ$ en $ K,L$ . Demuestre que el circuncírculo de $ ILK$ es tangente al incírculo de $ ABC$ si y solo si $ AB+AC=3BC$ .

Encuentre todos los números primos $p$ tales que $ p = m^2 + n^2$ y $p\mid m^3+n^3-4$ .

$ \Delta_1,\ldots,\Delta_n$ son $ n$ segmentos concurrentes (sus líneas concurren) en el plano real. Demuestre que si para cada tres de ellos existe una línea que interseca estos tres segmentos, entonces existe una línea que interseca todos los segmentos.

Se dan finitamente muchos puntos en la superficie de una esfera, tales que cada cuatro de ellos se encuentran en la superficie de un hemisferio abierto. Demuestre que todos los puntos se encuentran en la superficie de un hemisferio abierto.