Un triángulo equilátero $\bigtriangleup ABC$ se divide en $4$ triángulos con área igual; tres triángulos congruentes $\bigtriangleup ABX,\bigtriangleup BCY, \bigtriangleup CAZ$ , y un triángulo equilátero más pequeño $\bigtriangleup XYZ$ , como se muestra. Demuestre que los puntos $X, Y, Z$ se encuentran en el incírculo del triángulo $\bigtriangleup ABC$.

El punto $P$ es la intersección de las diagonales $AC,BD$ del trapecio $ABCD$ con $AB \parallel CD$. Las reflexiones de las líneas $AD$ y $BC$ en las bisectrices internas de $\angle PDC$ y $\angle PCD$ intersecan las circunferencias circunscritas de $\bigtriangleup APD$ y $\bigtriangleup BPC$ en $D'$ y $C'$. La línea $C'A$ interseca la circunferencia circunscrita de $\bigtriangleup BPC$ nuevamente en $Y$ y $D'C$ interseca la circunferencia circunscrita de $\bigtriangleup APD$ nuevamente en $X$. Demuestre que $P,X,Y$ son colineales.

Eric ha ensamblado un polígono convexo $P$ a partir de un número finito de baldosas poligonales centralmente simétricas (no necesariamente congruentes o convexas). Demuestre que $P$ es centralmente simétrico.

Sea $\bigtriangleup ABC$ un triángulo acutángulo con un punto $D$ en el lado $BC$. Sea $J$ un punto en el lado $AC$ tal que $\angle BAD = 2\angle ADJ$, y sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $\bigtriangleup CDJ$. La línea $AD$ interseca a $\omega$ nuevamente en un punto $P$, y $Q$ es el pie de la altura desde $J$ a $AB$. Demuestre que si $JP = JQ$, entonces la línea perpendicular a $DJ$ a través de $A$ es tangente a $\omega$.

Los puntos $X,Y$ se encuentran en el lado $CD$ de un pentágono convexo $ABCDE$ con $X$ entre $Y$ y $C$. Suponga que los triángulos $\bigtriangleup XCB, \bigtriangleup ABX, \bigtriangleup AXY, \bigtriangleup AYE, \bigtriangleup YED$ son todos similares (en este orden exacto). Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $\bigtriangleup ACD, \bigtriangleup AXY$ son tangentes.

En la figura de abajo, los puntos $A,B$ son los centros de los círculos $\omega_1, \omega_2$. Comenzando desde la línea $BC$, los puntos $E,F,G,H,I$ se obtienen respectivamente. Encuentra el ángulo $\angle IBE$.

Los puntos $Y,Z$ se encuentran en el arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $\bigtriangleup ABC$ ( $Y$ se encuentra en el arco menor $BZ$ ). Sea $X$ un punto tal que los triángulos $\bigtriangleup ABC,\bigtriangleup XYZ$ son similares (en este orden exacto) con $A,X$ ubicados en el mismo lado de $YZ$. Las líneas $XY,XZ$ intersecan los lados $AB,AC$ en los puntos $E,F$ respectivamente. Sea $K$ la intersección de las líneas $BY,CZ$. Demuestre que una de las intersecciones de las circunferencias circunscritas de los triángulos $\bigtriangleup AEF,\bigtriangleup KBC$ se encuentra en la línea $KX$.

Un $n$ - gon inscrito ( $n > 3$ ) se divide en $n-2$ triángulos por diagonales que se encuentran solo en los vértices. ¿Cuál es el número máximo posible de triángulos congruentes obtenidos? (Un $n$ - gon inscrito es un $n$ - gon donde todos sus vértices se encuentran en un círculo)

Dentro de un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $BC>AD$, se elige un punto $T$. $S$ se encuentra en el segmento $AT$ tal que $DT = BC, \angle TSD = 90^\circ$. Demuestre que si $\angle DTA + \angle TAB + \angle ABC = 180^\circ$, entonces $AB + ST \geqslant CD + AS$.

$ABCD$ es un cuadrado con lado de longitud 20. Un rayo de luz se irradia desde $A$ e interseca los lados $BC,CD,DA$ respectivamente y alcanza el punto medio del lado $AB$. ¿Cuál es la longitud del camino que ha tomado el rayo?