$27$ estudiantes reciben un número del $1$ al $27.$ ¿De cuántas maneras se pueden dividir $27$ estudiantes en $9$ grupos de $3$ con la siguiente condición?\n(i) La suma del número de estudiantes en cada grupo es $1\pmod{3}$\n(ii) No hay dos estudiantes donde su numeración difiera en $3.$

Los puntos $A,B,C,D,E,F$ están en el círculo $O.$ Una línea $\ell$ es tangente a $O$ en $E$ es paralela a $AC$ y $DE>EF.$ Sean $P,Q$ la intersección de $\ell$ y $BC,CD$ ,respectivamente y sean $R,S$ la intersección de $\ell$ y $CF,DF$ ,respectivamente. Muestra que $PQ=RS$ si y solo si $QE=ER.$

Prueba que para cualquier número real positivo $x,y$ y $z,$ $xyz(x+2)(y+2)(z+2)\le(1+\frac{2(xy+yz+zx)}{3})^3$

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $\phi(n)$ es la cuarta potencia de algún primo.

En el círculo $O,$ seis puntos $A,B,C,D,E,F$ están en el círculo en sentido antihorario. $BD$ es el diámetro del círculo y es perpendicular a $CF.$ Además, las líneas $CF, BE, AD$ son concurrentes. Sea $M$ el pie de la altura desde $B$ a $AC$ y sea $N$ el pie de la altura desde $D$ a $CE.$ Prueba que el área de $\triangle MNC$ es menor que la mitad del área de $\square ACEF.$

Para tres enteros positivos $a,b$ y $c,$ si $\text{gcd}(a,b,c)=1$ y $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca),$ prueba que todos $a,b,c$ son cuadrados perfectos.

Alice y Bob están jugando al 'juego de la factorización'. En el papel, está escrito $270000(=2^43^35^4)$ y cada persona elige un número del papel (llamémoslo $N$ ) y borra $N$ y escribe enteros $X,Y$ tales que $N=XY$ y $\text{gcd}(X,Y)\ne1.$ Alice va primero y la persona que ya no puede hacer esta factorización pierde. Si dos personas usan una estrategia óptima, prueba que Alice siempre gana.

Dado que para los números reales $a_1,\cdots, a_{2004},$ la ecuación $x^{2006}-2006x^{2005}+a_{2004}x^{2004}+\cdots +a_2x^2+a_1x+1=0$ tiene $2006$ soluciones reales positivas, encuentra el valor máximo posible de $a_1.$

Sean $a_1, a_2, \cdots a_{100}$ una permutación de $1,2,\cdots 100$. Define $l(k)$ como el máximo $m$ tal que existe $i_1, i_2 \cdots i_m$ tal que $a_{i_1} > a_{i_2} > \cdots > a_{i_m}$ o $a_{i_1} < a_{i_2} < \cdots < a_{i_m}$, donde $i_1=k$ y $i_1<i_2< \cdots <i_m$ Encuentra el valor mínimo posible para $\sum_{i=1}^{100} l(i)$.

Sea un triángulo $\triangle ABC$ con $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Sea $T$ un punto no dentro de $\triangle ABC$ y en el mismo lado de $A$ con respecto a $BC$, tal que $BT-CT=c-b$. Sean $n=BT$ y $m=CT$. Encuentra el punto $P$ que minimiza $f(P)=-a \cdot AP + m \cdot BP + n \cdot CP$.