Si $a=b-c, b=c-d, c=d-a$ y $abcd\ne 0$ , entonces ¿cuál es el valor de $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$ ?

Si $\frac{1}{\sqrt{2011+\sqrt{2011^2-1}}}=\sqrt{m}-\sqrt{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos, ¿cuál es el valor de $m+n$ ?

Sea $P(n) = (n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 9)$ . ¿Cuál es el entero más grande que es un divisor de $P(n)$ para todos los enteros pares positivos $n$ ?

$ABCD$ es un cuadrado y $AB = 1$ . Se dibujan triángulos equiláteros $AYB$ y $CXD$ tales que $X$ e $Y$ están dentro del cuadrado. ¿Cuál es la longitud de $XY$ ?

Supongamos que $4^{x_1}= 5, 5^{x_2}= 6,6^{x_3} = 7,..., 126^{x_{123}} = 127,127^{x_{124}} = 128$ . ¿Cuál es el valor del producto $X_1X_2... X_{124}$ ?

En el rectángulo $ABCD, AB= 5$ y $BC = 3$ . Los puntos $F$ y $G$ están en el segmento de línea $CD$ de modo que $DF = 1$ y $GC = 2$ . Las líneas $AF$ y $BG$ se intersecan en $E$ . ¿Cuál es el área de $\vartriangle AEB$ ?

En $\vartriangle ABC$ , tenemos $AC = BC = 7$ y $AB = 2$ . Supongamos que $D$ es un punto en la línea $AB$ tal que $B$ se encuentra entre $A$ y $D$ y $CD = 8$ . ¿Cuál es la longitud del segmento $BD$ ?

Un cartero tiene que entregar cinco cartas a cinco casas diferentes. Traviesamente, deposita una carta en cada puerta sin mirar si es la dirección correcta. ¿De cuántas maneras diferentes podría hacer esto para que exactamente dos de las cinco casas reciban las cartas correctas?

Sea $S_n = n^2 + 20n + 12$, $n$ un entero positivo. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $n$ para los cuales $S_n$ es un cuadrado perfecto?

Las letras $R, M$ y $O$ representan números enteros. Si $R \times M \times O = 240$, $R \times O + M =46$ y $R + M \times O = 64$, ¿cuál es el valor de $R + M + O$?