¿Cuántas $6$ - tuplas $(a, b, c, d, e, f)$ de números naturales existen para las cuales $a>b>c>d>e>f$ y $a+f=b+e=c+d=30$ son verdaderas simultáneamente?

Sean $a\ge b$ y $c\ge d$ números reales. Demuestra que la ecuación \[(x+a)(x+d)+(x+b)(x+c)=0\] tiene raíces reales.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ . Sea $D$ un punto en el segmento $BC$ tal que $BD=2DC$ . Sea $P$ un punto en el segmento $AD$ tal que $\angle BAC=\angle BPD$ . Demuestra que $\angle BAC=2\angle DPC$ .

$PS$ es un segmento de recta de longitud $4$ y $O$ es el punto medio de $PS$ . Se dibuja un arco semicircular con $PS$ como diámetro. Sea $X$ el punto medio de este arco. $Q$ y $R$ son puntos en el arco $PXS$ tal que $QR$ es paralelo a $PS$ y el arco semicircular dibujado con $QR$ como diámetro es tangente a $PS$ . ¿Cuál es el área de la región $QXROQ$ limitada por los dos arcos semicirculares?

¿Cuántos pares enteros $(x,y)$ satisfacen $x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0$ ?

¿Cuál es la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación $x^2 -7 \lfloor x\rfloor +5=0$ ?

Sean $x_1,x_2,x_3$ las raíces de la ecuación $x^3 + 3x + 5 = 0$ . ¿Cuál es el valor de la expresión $\left( x_1+\frac{1}{x_1} \right)\left( x_2+\frac{1}{x_2} \right)\left( x_3+\frac{1}{x_3} \right)$ ?

Sea $N$ el conjunto de los números naturales. Suponga que $f: N \to N$ es una función que satisface las siguientes condiciones: (a) $f(mn) =f(m)f(n)$ (b) $f(m) < f(n)$ si $m < n$ (c) $f(2) = 2$ ¿Cuál es la suma de $\Sigma_{k=1}^{20}f(k)$ ?

¿Cuántos valores integrales no negativos de $x$ satisfacen la ecuación $ \lfloor \frac{x}{5}\rfloor = \lfloor \frac{x}{7}\rfloor $?

$O$ e $I$ son el circuncentro y el incentro de $\vartriangle ABC$ respectivamente. Suponga que $O$ se encuentra en el interior de $\vartriangle ABC$ e $I$ se encuentra en el círculo que pasa por $B, O$ y $C$ . ¿Cuál es la magnitud de $\angle BAC$ en grados?