Demostrar que el dígito de las decenas de cualquier potencia de 3 es par.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $CD$ la altura que pasa por $C$. Si $AB = 8$ y $CD = 6$, hallar la distancia entre los puntos medios de $AD$ y $BC$.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb R$ que satisfacen \[f(x+y)f(x-y)=\left(f(x)+f(y)\right)^2-4x^2f(y),\] Para todo $x,y\in\mathbb R$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo $\Gamma.$ Sean $E,F,G,H$ los puntos medios de los arcos $AB,BC,CD,AD$ de $\Gamma,$ respectivamente. Supón que $AC\cdot BD=EG\cdot FH.$ Demuestra que $AC,BD,EG,FH$ son todos concurrentes.

Supón que cinco de los nueve vértices de un polígono regular de nueve lados son elegidos arbitrariamente. Demuestra que uno puede seleccionar cuatro entre estos cinco tales que sean los vértices de un trapecio.

Sean $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ y $Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0$ dos polinomios con coeficientes integrales tales que $a_n-b_n$ es un primo y $a_nb_0-a_0b_n\neq 0,$ y $a_{n-1}=b_{n-1}.$ Supón que existe un número racional $r$ tal que $P(r)=Q(r)=0.$ Prueba que $r\in\mathbb Z.$

Llamemos a un número natural $n$ fiel si existen números naturales $a<b<c$ tales que $a|b,$ y $b|c$ y $n=a+b+c.$ $(i)$ Demuestra que todos menos un número finito de números naturales son fieles. $(ii)$ Encuentra la suma de todos los números naturales que no son fieles.

Sean $D,E,F$ puntos en los lados $BC,CA,AB$ respectivamente de un triángulo $ABC$ tales que $BD=CE=AF$ y $\angle BDF=\angle CED=\angle AFE.$ Demuestra que $\triangle ABC$ es equilátero.

Si $a,b,c,d$ son reales positivos tales que $a^2+b^2=c^2+d^2$ y $a^2+d^2-ad=b^2+c^2+bc$ , encuentra el valor de $\frac{ab+cd}{ad+bc}$

(a) Prueba que $x^4+3x^3+6x^2+9x+12$ no puede ser expresado como producto de dos polinomios de grado 2 con coeficientes enteros.\n(b) $2n+1$ segmentos están marcados en una línea. Cada uno de estos segmentos intersecta al menos $n$ otros segmentos. Prueba que uno de estos segmentos intersecta todos los otros segmentos.