Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia centrada en $ O$ tal que $ AC$ es un diámetro. Se construyen los pararrelogramas $ DAOE$ y $ BCOF$. Demuestra que si $ E$ y $ F$ están en la circunferencia entonces $ ABCD$ es un rectángulo.

Para cada entero positivo $n \ge 2$, determina el mayor entero positivo $N$ con la propiedad de que existen $N +1$ números reales $a_0,a_1,\dots,a_N$ tales que - $a_0+a_1=-\frac 1n$, y - $(a_k+a_{k-1})(a_k+a_{k+1})=a_{k-1}-a_{k+1}$ para todo $1\leq k \leq N-1$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$. Sea $X$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle ABC$; sea $Y$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle BCD$; sea $Z$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle BCD$ y $\angle CDA$; y sea $W$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle CDA$ y $\angle DAB$. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $BD$. Suponga que los puntos $O$, $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ son distintos. Prueba que $O$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencia si y sólo si $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencias.

Dos circunferencias $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$ se cruzan en los puntos $ A$ y $ B$. Consideremos una circunferencia $ \Gamma$ contenida en $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$, que es tangente a ambas en $ D$ y $ E$ respectivamente. Sea $ C$ uno de los puntos de intersección de la recta $ AB$ con $ \Gamma$, $ F$ la intersección de la recta $ EC$ con $ \Gamma_2$ y $ G$ la intersección de la recta $ DC$ con $ \Gamma_1$. Sean $ H$ e $ I$ los puntos de intersección de la recta $ ED$ con $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$ respectivamente. Demuestra que $ F$, $ G$, $ H$ e $ I$ están en la misma circunferencia.

Encuentra un polinomio $ P\left(x\right)$ con coeficientes reales tal que $$(x+10)P(2x) = (8x - 32)P(x + 6)$$ para todo real $x$ y $P(1) = 210$.

La Olimpiada Centroamericana es una competición anual. La novena olimpiada se celebra en 2007. Halla todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ divide el número del año en que se celebra la $n$-ésima Olimpiada.

Dados dos enteros no negativos $m>n$, digamos que $m$ "termina en" $n$ si podemos obtener $n$ borrando algunos dígitos (de izquierda a derecha) en la representación decimal de $m$. Por ejemplo, 329 termina en 29, y también en 9. Determina cuántos números de tres cifras terminan en el producto de sus dígitos.

Sea $S$ un conjunto finito de enteros. Supongamos que para cada dos elementos distintos de $S$, $p$ y $q$, existen enteros no necesariamente distintos $a \neq 0$, $b$, $c$ pertenecientes a $S$, tales que $p$ y $q$ son las raíces del polinomio $ax^{2}+bx+c$. Determina el número máximo de elementos que puede tener $S$.

Sea $ ABC$ un triángulo agudo. Tomemos los puntos $ P$ y $ Q$ dentro de $ AB$ y $ AC$, respectivamente, tales que $ BPQC$ es cíclico. La circunferencia de $ ABQ$ vuelve a intersecar $ BC$ en $ S$ y la circunferencia de $ APC$ vuelve a intersecar $ BC$ en $ R$, $ PR$ y $ QS$ vuelven a intersecarse en $ L$. Demuestra que la intersección de $ AL$ y $ BC$ no depende de la selección de $ P$ y $ Q$.

Dos jugadores, Rojo y Azul, juegan por turnos en un tablero de $10\times 10$. El azul va primero. En su turno, un jugador elige una fila o columna (no elegida aún por ningún jugador) y colorea todas sus casillas con su propio color. Si alguna de estas casillas ya estaba coloreada, el nuevo color sustituye al anterior. El juego termina después de 20 turnos, cuando todas las filas y columnas han sido elegidas. El rojo gana si el número de casillas rojas en el tablero supera al menos en 10 el número de casillas azules; en caso contrario, gana el azul. Determina qué jugador tiene una estrategia ganadora y describe esta estrategia.