Sea $n \ge 2$ un entero. Una $n$-tupla $(a_1, a_2, \dots , a_n)$ de enteros positivos no necesariamente distintos es costosa si existe un entero positivo $k$ tal que \[(a_1+a_2)(a_2+a_3)\dots(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)=2^{2k-1}.\] a) Encuentra todos los enteros $n \geq 2$ para los cuales existe una $n$-tupla costosa. b) Demuestra que para todo entero positivo impar $m$ existe un entero $n \geq 2$ tal que $m$ pertenece a una $n$-tupla costosa.

(a) Demuestra que para todo número real $t$ tal que $0 \lt t \lt \frac12$ existe un entero positivo $n$ con la siguiente propriedad: para todo conjunto $S$ de $n$ enteros positivos existen dos elementos distintos $x$ e $y$ de $S$, y un entero no negativo $m$ tal que $\left|x - my\right| \leq ty.$ (b) Determina si para todo número real $t$ con $0 \lt t \lt \frac12$ existe un conjunto infinito $S$ de enteros positivos tal que $\left|x - my\right| \gt ty$ para todo par de elementos distintos $x$ e $y$ de $S$ y para todo entero positivo $m$.

Dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ del mismo radio se intersecan en dos puntos distintos $X_1$ y $X_2$. Se considera una circunferencia $\omega$ tangente exteriormente a $\omega_1$ en un punto $T_1$, y tangente interiormente a $\omega_2$ en un punto $T_2$. Demuestra que las rectas $X_1T_1$ y $X_2T_2$ se intersecan en un punto que pertenece a $\omega$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, y $X$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Sean $C_1$, $D_1$ y $M$ los puntos medios de los segmentos $CX$, $DX$ y $CD$, respectivamente. Las rectas $AD_1$ y $BC_1$ se intersecan en $Y$ , la recta $MY$ interseca a las diagonales $AC$ y $BD$ en dos puntos distintos, que llamamos respectivamente $E$ y $F$. Demuestra que la recta $XY$ es tangente a la circunferencia que pasa por $E$, $F$ y $X$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que cumple que $\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ}$ y $\angle ABC \gt \angle CDA$. Sean $Q$ y $R$ puntos en los segmentos $BC$ y $CD,$ respectivamente, tales que la recta $QR$ interseca las rectas $AB$ y $AD$ en los puntos $P$ y $S,$ respectivamente. Se sabe que $PQ = RS.$ Sea $M$ el punto medio de $BD$ y sea $N$ el punto medio de $QR.$ Demuestra que los puntos $M$, $N $, $A$ y $C$ están en una misma circunferencia.

Sea ABC un triángulo acutángulo que no tiene dos lados con la misma longitud. Las reflexiones del gravicentro $G$ y el circuncentro $O$ de $ABC$ con respecto a los lados $BC$, $CA$, $AB$ se denotan como $G_1, G_2, G_3$, y $O_1, O_2, O_3$, respectivamente. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos $G_1G_2C, G_1G_3B, G_2G_3A, O_1O_2C, O_1O_3B, O_2O_3A$ y $ABC$ tienen un punto en común.

Sean $k$ y $n$ enteros tales que $k \ge 2$ y $k \le n \le 2k - 1$. Se ponen piezas rectangulares, cada una de tamaño $1 \times k$ ó $k \times 1$, en un tablero de $n \times n$ casillas cuadradas, de forma que cada pieza cubra exactamente $k$ casillas del tablero y que no haya dos piezas superpuestas. Se hace esto hasta que no se puedan colocar más piezas. Para cada $n$ y $k$ que cumplen las condiciones anteriores, determina el mínimo número de piezas que puede contener dicho tablero.

Sean $n$ un entero positivo impar, y $x_1, \dots, x_n$ números reales no negativos. Muestra que \n\[ \min_{i=1,\ldots,n} (x_i^2+x_{i+1}^2) \leq \max_{j=1,\ldots,n} (2x_jx_{j+1}) \]\ndonde $x_{n+1}= x_1$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $ ADE$ en $F$. Si $\angle ADF = 45^{\circ}$, muestra que $CF$ es tangente a $\omega$.

Una ficha de dominó es de $2 \times 1$ o de $1 \times 2$ cuadrados unitarios. Determina de cuántas maneras distintas se pueden acomodar exactamente $n^2$ fichas de dominó en un tablero de ajedrez de tamaño $2n \times 2n$ de forma que cualquier cuadrado de $2 \times 2$ contiene al menos dos cuadrados unitarios sin cubrir que están en la misma fila o en la misma columna.