Sea $n\geq 2$ un número entero positivo. Sean $x_1,x_2,\cdots, x_n$ números reales no nulos que satisfacen la ecuación\n$$\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\frac{1}{x_3}\right)\dots\left(x_n+\frac{1}{x_1}\right)=\left(x_1^2+\frac{1}{x_2^2}\right)\left(x_2^2+\frac{1}{x_3^2}\right)\dots\left(x_n^2+\frac{1}{x_1^2}\right).$$\nEncuentra todos los valores posibles de $x_1,x_2,\cdots, x_n$.

Sea $ABCDE$ un pentagono convexo tal que $BC=DE$. Supongamos que existe un punto $T$ en el interior de $ABCDE$ tal que $TB=TD$, $TC=TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. La recta $AB$ corta a las rectas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Supongamos que los puntos $R$, $E$, $A$ y $S$ aparecen sobre su recta en ese orden. Demuestra que los puntos $P$, $S$, $Q$ y $R$ estan en una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escálelo con $\angle BAC=60^\circ$ y ortocentro $H$. Sean $\omega_b$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AB$ en $B$, y $\omega_c$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AC$ en $C$.\n- Prueba que $\omega_b$ y $\omega_c$ solamente tienen a $H$ como punto común.\n- Prueba que la recta que pasa por $H$ y el circuncentro $O$ del triángulo $ABC$ es una tangente común a $\omega_b$ y $\omega_c$.

El banco de Oslo tiene dos tipos distintos de monedas: aluminio (denotado $A$), y bronce (denotado $B$). Marianne tiene $n$ monedas de aluminio y $n$ monedas de bronce en una fila, en orden aleatorio. Una cadena es cualquier subsecuencia de monedas consecutivas del mismo tipo. Dado un entero positivo $k\leq 2n$, Gilberty hace la siguiente operación varias veces: encuentra la cadena más larga que contiene a la $k$-ésima moneda (de izquierda a derecha) y mueve toda la cadena a el extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si $n=4$ y $k=4$, el proceso empezando desde $AABBBABA$ sería $$AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to ...$$ Encuentra todas las parejas $(n,k)$ con $1\leq k\leq 2n$ tales que para cualquier orden inicial de la fila, en algún momento las $n$ monedas de la izquierda serán todas iguales.

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los reales positivos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que para cada $x\in\mathbb{R}^+$, existe exactamente una $y\in\mathbb{R}^+$ tal que $$xf(y)+yf(x)\leq2.$$

Sea $n\geq 3$ un número entero. En un juego hay $n$ cajas en un círculo. Al principio, cada caja contiene un objeto que puede ser piedra, papel o tijeras, de forma que no hay dos cajas adyacentes con el mismo objeto, y cada objeto aparece en al menos una caja.\nAl igual que en el juego, piedra gana a tijera, tijera gana a papel y papel gana a piedra.\nEl juego consiste en mover objetos de una caja a otra según la siguiente regla:\nSe eligen dos cajas adyacentes y un objeto de cada una de ellas de forma que sean diferentes, y movemos el objeto perdedor a la caja que contiene el objeto ganador. Por ejemplo, si elegimos una piedra de la caja A y unas tijeras de la caja B, movemos las tijeras a la caja A.\nDemuestra que, aplicando la regla suficientes veces, es posible mover todos los objetos a la misma caja.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle ACB \ge 90^\circ$ y sea $D$ el punto de la recta $BC$ tal que $AD$ es perpendicular a $BC$. Considera $\Gamma$ la circunferencia de diámetro $BC$. Una recta que pasa por $D$ es tangente a la circunferencia $\Gamma$ en $P$, corta al lado $AC$ en $M$ (quedando $M$ entre $A$ y $C$ ) y corta al lado $AB$ en $N$. Demuestra que $M$ es punto medio de $DP$ si y solo si $N$ es punto medio de $AB$.

Para cada entero $n\le 0$ con expansion decimal $\overline{a_1a_2\cdots a_{k-1}a_k}$ definimos a $s(n)$ como sigue: Si $k$ es par, $s(n)=\overline{a_1a_2}+\overline{a_3a_4}\cdots+\overline{a_{k-1}a_k}$. Si $k$ es impar, $s(n)=a_1+\overline{a_2a_3}\cdots+\overline{a_{k-1}a_k}$. Por ejemplo, si $n=123$ entonces $s(n)=1+23$ y si $n=2021$ entonces $s(n)=20+21$. Decimos que $n$ es "digital" si $n$ es multiplo de $s(n)$. Muestra que entre cualesquiera $198$ enteros positivos consecutivos, todos ellos menores a $2000021$, hay uno de ellos que es digital.

Sea $n\geq 3$ un número entero. Dos jugadores, Ana y Beto, juegan al siguiente juego. Ana etiqueta los vértices de un $n$-ágono regular con los números del $1$ al $n$, en el orden que quiera. Cada vértice debe ser etiquetado con un número diferente. A continuación, colocamos un guajolote en cada uno de los $n$ vértices. Estos guajolotes se entrenan para lo siguiente. Si Beto silba, cada guajolote se mueve al vértice adyacente con mayor etiqueta. Si Beto aplaude, cada guajolote se mueve al vértice adyacente con la etiqueta menor. Beto gana si, tras un cierto número de silbidos y palmadas, consigue mover todos los guajolotes al mismo vértice. Ana gana si consigue etiquetar los vértices para que Beto no pueda hacerlo. Para cada $n\geq 3$, determina qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Sean $m,n\geq 2$ dos enteros. En una cuadrícula de $m\times n$, una hormiga empieza en el cuadrito inferior izquierdo y quiere caminar al camino superior derecho. Cada paso que da la hormiga debe ser a un cuadrito adyacente, y de acuerdo a las siguientes posibilidades: $\uparrow$, $\rightarrow$ y $\nearrow$. Sin embargo, un malvado mago ha dejado caer lava desde arriba de la cuadrícula y ha destruido algunos cuadritos, de forma tal que: - Si un cuadrito está destruido, entonces todos los cuadritos superiores a él también también están destruidos. - El número de cuadritos destruidos es mayor o igual a $0$. - Quedan suficientes cuadritos sin destruir para que la hormiga pueda llegar a la meta. Sea $P$ el número de caminos de longitud par que puede seguir la hormiga. Sea $I$ el número de caminos de longitud impar que puede seguir la hormiga. Encuentra todos los posibles valores de $P-I$.