Sea $n\geq 2$ un número entero. Para cada sucesion de enteros positivos $a_1,a_2,\cdots,a_k$ tal que $a_1+a_2+\cdots+a_k=n$, consideramos las sumas $S_i=1+2+\cdots a_i$ para cada $1\leq i\leq k$. Determina, en términos de $n$, el máximo valor posible del producto $S_1S_2\cdots S_k$.

Sea $H$ el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $AH$. La recta $BH$ corta a $AC$ en $D$. Se considera un punto $E$ tal que $BC$ es la mediatriz de $DE$. Los segmentos $CM$ y $AE$ se cruzan en $F$. Muestra que $BF$ es perpendicular a $CM$.

Un subconjunto $B$ de $\{1,2,\cdots, 2017\}$, tiene la propiedad $T$ si cada tres números de $B$ son las longitudes de los lados de un triángulo (de área positiva). Determina la mayor cantidad de números que puede tener un conjunto $B$ que tenga la propiedad $T$.

Para cada número entero positivo $m$, definimos $L_m$ como la figura que se obtiene al superponer dos rectángulos de $1\times m$ y $m\times 1$ de manera que coincidan en el cuadrado de $1\times 1$ en sus extremos (Creando una "L"). Utilizando unas figuras $L_{m_1}, L_{m_2},\cdots,L_{m_k}$, cubrimos completamente un tablero de $n\times n$, de forma que las aristas de la figura coincidan con líneas del tablero. Entre todas las coberturas posibles del tablero, encontrar el mínimo valor posible de $m_1+m_2+\cdots+m_k$. Nota: Al cubrir el tablero, las figuras pueden estar giradas o reflejadas, y pueden solaparse o no estar completamente contenidas en el tablero.

Sobre una circunferencia $\Gamma$ se encuentran los puntos $A,B,N,C,D$ y $M$ colocados en el sentido de las manecillas del reloj de manera que $M$ y $N$ son los puntos medios de los arcos $DA$ y $BC$ (recorridos en el sentido de las manecillas del reloj). Sea $P$ la intersección de los segmentos $AC$ y $BD$; y sea $Q$ un punto sobre $MB$ de manera que las rectas $PQ$ y $MN$ son perpendiculares. Sobre el segmento $MC$ se considera un punto $R$ de manera que $QB=RC$. Muestra que $AC$ pasa por el punto medio del segmento $QR$.

Sean $A$ y $B$ dos puntos de una recta $\ell$, $M$ el punto medio de $AB$, y $X$ un punto del segmento $AB$ distinto de $M$. Sea $\Omega$ una semicircunferencia con diámetro $AB$. Consideremos un punto $P$ sobre $\Omega$ y sea $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $P$ y $X$ que es tangente a $AB$. Sea $Q$ el segundo punto de intersección de $\Omega$ y $\Gamma$. La bisectriz del ángulo interno de $\angle PXQ$ interseca a $\Gamma$ en un punto $R$. Sea $Y$ un punto de $\ell$ tal que $RY$ es perpendicular a $\ell$. Muestra que $MX>XY$.

Sea $n\geq 5$ un número entero y consideremos un $n$-ágono regular. Inicialmente, Nacho se posiciona en uno de los vértices del $n$-ágono, en el que pone una bandera. Comienza a moverse en el sentido de las agujas del reloj. Primero se desplaza una posición y pone otra bandera, luego dos posiciones y pone otra bandera, etcétera, hasta que finalmente se desplaza $n-1$ posiciones y pone una bandera, de manera que pone $n$ banderas en total. ¿Para qué valores de $n$, Nacho habrá puesto una bandera en cada uno de los $n$ vértices?

En un tablero de ajedrez de $2017\times 2017$, se han colocado en la primera columna $2017$ caballos de ajedrez, uno en cada casilla de la columna. Una tirada consiste en elegir dos caballos distintos y de manera simulátnea moverlos como se mueven los caballos de ajedrez. Encuentra todos los posibles valores enteros de $k$ con $1\leq k\leq 2017$, para los cuales es posible llegar a través de varias tiradas, a que todos los caballos están en la columna $k$, uno en cada casilla. Nota. Un caballo se mueve de una casilla $X$ a otra $Y$, solamente si $X$ y $Y$ son las esquinas opuestas de un rectángulo de $3\times 2$ o de $2\times 3$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia $\Omega$. Las bisectrices de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$ intersectan a $\Omega$ en $M$ y $N$. Sea $I$ el punto de intersección de estas bisectrices. Sean $M'$ y $N'$ las respectivas reflexiones de $M$ y $N$ por $AC$ y $AB$ respectivamente. Muestra que el centro de la circunferencia que pasa por $I$, $M'$, $N'$ se encuentra en la altitud del triángulo $ABC$ desde $A$.

Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La recta $AI$ corta por segunda vez al circuncírculo del triángulo $BIC$ en $E$. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$ y $J$ la reflexión de $I$ con respecto a $BC$. Muestra que los puntos $D$, $J$ y $E$ son colineales.