Sea $a_1=2$ y para cada entero positivo $n$ se define a $a_{n+1}$ como el menor entero positivo mayor a $a_n$ tal que ademas tiene mas divisores que $a_n$. Demuestra que solo puede suceder $2a_{n+1}=3a_n$ para un numero finito de valores de $n$.

Sean $a,b,c$ numeros reales tales que $0\leq a\leq b\leq c$ y $a+b+c=ab+bc+ca>0$. Demuestra que $\sqrt{bc}(a+1)\geq 2$ y determina cuando se da la igualdad.

Encuentra todas las funciones $f:(0,\infty)\to (0,\infty)$ tales que $$f(y(f(x))^3+x)=x^3f(y)+f(x)$$ para todo $x,y>0$.

Sea $ABC$ un triangulo con $AB<AC$. Sea $\omega$ un circulo que pasa por $B,C$ y asume que $A$ esta dentro de $\omega$. Sean $X,Y$ puntos en $\omega$ tales que $\angle BXA=\angle AYC$. Ademas supon que $X$ y $X$ estan en lados opuestos de la linea $AB$, y que $Y$ y $B$ estan en lados opuestos de la linea $AC$. Demuestra que si $X,Y$ varian en $\omega$ la linea $XY$ pasa por un punto fijo.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB=AC$, sea $D$ el punto medio de $AC$ y $\gamma$ el circuncirculo de $ABD$. La tangente a $\gamma$ por $A$ corta a $BC$ en $E$. Sea $O$ el circuncentro del triangulo $ABE$. Demuestra que el punto medio de $AO$ esta en $\gamma$.

Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos que satisfacen $$mcd(a,b)+mcm(a,b)=2021^c.$$ Si $|a-b|$ es un numero primo, demuestra que $(a+b)^2+4$ es un numero compuesto.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$ tales que para todo $n,m\in \mathbb{Z}^+$: $$n+f(m)\mid f(n)+nf(m).$$

Sea $n\geq 3$ un entero impar, considera una cuadricula de $n\times n$ que consiste de $n^2$ celdas unitarias. Primero, Dinoisio colorea cada celda de rojo o azul. Se sabe que una rana puede saltar de una celda a otra si y solo si las dos celdas son del mismo color y comparten al menos un vertice. Luego, Xanthias ve la coloracion que deja Dionisio y pone $k$ ranas de manera que cada celda pueda ser visitada por almenos una rana. Encuentra el menor entero $k$ de manera que no importa que haga Dionisio, Xanthias puede acomodar las ranas de tal manera.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(x,y)$ tales que: $$x^3+y^3=x^2+42xy+y^2.$$

Sea $k$ un entero positivo. Determina el menor entero $n$, con $n\geq k+1$ para el cual el siguiente juego se puede jugar indefinidamente: Tenemos $n$ cajas, $b_1,b_2,\ldots, b_n$. Para cada entero $i$ $b_i$ contiene exactamente $i$ monedas. En cada paso de performan las siguientes $3$ acciones: (1) Se escogen $k+1$ cajas. (2) De estas cajas se escojen $k$, se toman al menos la mitad de monedas de cada caja. En la caja restante $b_j$ se añaden $j$ monedas. (3) Cuando una caja esta vacia el juego termina.