Encuentra todos los números primos $p$, $q$, $r$ con $p<q<r$, tales que $25pq+r=2004$ y que $pqr+1$ sea un cuadrado perfecto.

Halla todos los enteros $k$ para los que existen enteros positivos $a,b$ y $c$ tales que: $$|(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3|=3\cdot 2^k$$

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB<AC$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el segmento $BC$ tales que $\angle BAP=\angle CAQ<\frac{\angle BAC}{2}$. $B_1$ es un punto en $AC$. $BB_1$ interseca a $AP$ y a $AQ$ en $P_1$ y $Q_1$ respectivamente. Las bisectrices de los angulos $\angle BAC$ y $\angle CBB_1$ se intersecan en $M$. Si $PQ_1\perp AC$ y $QP_1\perp AB$, demuestra que $AQ_1MPB$ es ciclico.

Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto cualquiera del segmento $BC$ ($P\neq B$ y $P\neq C$). Supón que la circunferencia circunscrita al triángulo $BPO$ corta al segmento $AB$ en $R$ ($R\neq A$ y $R\neq B$) y que la circunferencia circunscrita al triángulo $COP$ corta al segmento $CA$ en el punto $Q$ ($Q\neq C$ y $Q\neq A$). Muestra que el triángulo $PQR$ es semejante al triángulo $ABC$ y su ortocentro es $O$. Además, muestra que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BPO$, $COP$ y $PQR$ son todas del mismo tamaño.

Sea $n$ un entero positivo. En un jardin de $n\times n$ cuyos lados dan al Norte, Sur, Este y Oeste, se va a construir una fuente usando plataformas de $1\times 1$ que cubran todo el jardín. Ana colocará las plataformas todas a diferente altura. Después, Beto pondrá salidas de agua en algunas de las plataformas. El agua de cada plataforma puede bajar a las plataformas contiguas (hacia el Norte, Sur, Este y Oeste) que tengan menor altura que la plataforma de donde viene el agua, siguiendo su flujo siempre que pueda dirigirse a plataformas de menor altura. El objetivo de Beto es que el agua llegue a todas las plataformas. ¿Cuál es el menor número de salidas de agua que Beto necesita tener disponibles a fin de garantizar que podrá lograr su objetivo, sin importar cómo Ana haya acomodado las plataformas?

Sea $n>1$ un entero y sean $d_1<d_2<\cdots<d_m$ la lista completa de sus divisores positivos, incluidos $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocara una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos)., donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene sonoridad $S=s_1+\cdots+s_m$.\n\nUn par de notas de tonos $a$ y $b$ son armónicas si $\frac{a}{b}$ o $\frac{b}{a}$ es un entero. Si cada instrumento toca al menos un segundo y cada par de notas que suenan al mismo tiempo son armónicas, demuestra que la máxima sonoridad posible de la pieza es un número compuesto.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $CA\neq CB$ y sean $\omega$ y $O$ su circuncirculo y circuncentro respectivamente. Las tangentes a $\omega$ por $A$ y por $B$ son $t_A$ y $t_B$ respectivamente, estas se cortan en $X$. Sea $Y$ el pie de la perpendicular de $O$ a $CX$. La linea paralela a $AB$ por $C$ corta a $t_A$ en $Z$. emuestra que la linea $YZ$ pasa por el punto medio de $AC$.

Sean $a,b$ y $n$ enteros positivos con $a>b$ tales que: i. $a^{2021}\mid n$, ii. $b^{2021}\mid n$, iii. $2022 \mid a-b$. Demuestra que hay un subconjunto $T$ de los divisores positivos de $n$ tales que la suma de los numeros en $T$ es divisible entre $2022$ pero no entre $2022^2$.

Encuentra todos los enteros $n\geq 3$, tales que existe un polígono convexo de $n$ lados $A_1A_2\cdots A_n$ que tenga las siguientes características: -Todos los ángulos internos de $A_1A_2\cdots A_n$ son iguales. -no todos los lados de $A_1A_2\cdots A_n$ son iguales, y -existe un triángulo $T$ y un punto $O$ en el interior de $A_1A_2\cdots A_n$ tal que los $n$ triángulos $OA_1A_2, OA_2A_3, \cdots, OA_nA_1$ son todos semejantes a $T$.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ tales que $$f(x+f(x)+f(y))=2f(x)+y$$ para todos los reales positivos $x,y$.