En cada cuadrado de una cuadrícula de $6\times 6$ hay una luciérnaga apagada o encendida. Una movida es escoger tres cuadrados consecutivos ya sean los tres verticales o los tres horizontales, y cambiar de estado a las tres luciérnagas que se encuentran en dichos cuadrados. Cambiar de estado a una luciérnaga significa que si está apagada se enciende y viceversa. Muestra que si inicialmente hay una luciérnaga encendida y las demás apagadas, no es posible hacer una serie de movidas tales que al final todas las luciérnagas estén apagadas.

¿Para qué enteros positivos $n$ puede cubrirse una escalera (hecha apilando filas de $n\times 1$, $(n-1)\times 1$, $\cdots$, $1\times 1$) con $n$ cuadrados de lados enteros, no necesariamente del mismo tamaño, sin que estos cuadrados se encimen y sin que sobresalgan del borde de la figura?

Leticia tiene un tablero de $9\times 9$. Dos cuadrados de $1\times 1$ se llaman "amigos" si comparten un lado, si estan en orillas opuestas de una misma fila o de una misma columna. Cada cuadado tiene exactamente $4$ amigos. Leticia va a colorear cada cuadrado con $1$ de $3$ colores: rojo, verde o azul. Dentro de cada cuadrado se va a escribir un número siguiendo las siguientes reglas: - Si el cuadrado es verde, se escribe el número de amigos rojos que tiene mas $2$ veces el número de amigos azules. - Si el cuadrado es rojo, se escribe el número de amigos azules que tiene mas $2$ veces el número de amigos verdes. - Si el cuadrado es azul, se escribe el número de amigos verdes que tiene mas $2$ veces el número de amigos rojos. Cuál es el la suma más grande que Leticia puede obetener al sumar todos los números escritos en el tablero?

Dadas varias cuadrículas del mismo tamaño con números escritos en sus casillas, su suma se efectúa sumando las casillas que están en la misma posición, creando una cuadrícula del mismo tamaño. Dado un entero positivo $N$, diremos que una cuadrícula es $N$-balanceada si tiene números enteros escritos en sus casillas y si la diferencia entre los números escritos en cualesquiera dos casillas que comparten un lado es menor o igual a $N$. Muestra que toda cuadrícula $2n$-balanceada (de cualquier tamaño) se puede escribir como suma de dos cuadrículas $n$-balanceadas. A demás, muestra que toda cuadrícula $3n$-balanceada (de cualquier tamaño) se puede escribir como suma de tres cuadrículas $n$-balanceadas.

Sea $N$ un número entero mayor que $1$. En cierta baraja de $N^3$ cartas, cada carta está pintada de uno de $N$ colores distintos, tiene dibujada una de $N$ posibles figuras, y tiene escrito un número entero del $1$ al $N$ (no hay dos cartas idénticas). Una colección de cartas de la baraja se llama completa si tiene cartas de todos los colores, o si entre sus cartas aparecen todas las figuras o todos los números. ¿Cuántas colecciones no completas tienen la propiedad de que, al añadir cualquier otra carta de la baraja, se vuelven completas?

Al final de un torneo de fútbol en el que cada par de equipos jugó entre sí exactamente una vez y donde no hubo empates, se observó que para cualesquiera tres equipos $A$, $B$ y $C$, si $A$ le ganó a $B$ y $B$ le ganó a $C$, entonces $A$ le ganó a $C$. Cada equipo calculó la diferencia (positiva) entre el número de partidos que ganó y el número de partidos que perdió. La suma de todas estas diferencias resultó ser $5000$. ¿Cuántos equipos participaron en el torneo? Encuentra todas las respuestas posibles.

Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la bisectriz del ángulo $\angle BAC$, con $D$ un punto del lado $BC$. Sea $E$ un punto del segmento $BC$ tal que $BD=EC$. Por $E$ se traza $\ell$, la recta paralela a $AD$. Sea $P$ un punto en $\ell$ y dentro del triángulo $ABC$. Sea $G$ el punto donde la recta $BP$ corta al lado $AC$ y sea $F$ el punto donde la recta $CP$ corta al lado $AB$. Muestra que $BF=CG$.

Determina todas las parejas $(a,b)$ de números enteros distintos de cero para las cuales es posible encontrar un entero entero positivo $x$ primo relativo con $b$ y un entero cualquiera $y$, tales que en la siguiente lista hay una infinidad de números enteros: $$\frac{a+xy}{b}, \frac{a+xy^2}{b^2},\frac{a+xy^3}{b^3}\cdots, \frac{a+xy^n}{b^n},\cdots$$

Sea $n$ un entero positivo. David tiene 6 tableros de ajedrez de $n\times n$ que ha dispuesto de manera que formen las 6 caras de un cubo de $n \times n \times n$. Se dice que dos casillas $a$ y $b$ estan alineadas si estan en una misma fila o columna en un tablero o continuan asi por los tableros adyacentes.\nDavid coloca algunas torres en tablero de forma que no se ataquen entre si, dos torres se atacan si estan en casillas alineadas.\n¿Cuál es la macima cantidad de torres que David puede colocar?

Sea $ABC$ un triangulo con $AB\neq AC$. Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ con diametros $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $P$ un punto en el segmento $BC$ tal que $AP$ interseca a $\omega_1$ en el punto $Q$, con $Q\neq A$. Demuestra que los puntos $O_1,O_2$ y $Q$ son colineales si y solo si $AP$ es la bisectriz del angulo $\angle BAC$.