Sea $n$ la suma de los dígitos de un entero positivo $A$. Decimos que $A$ es ""surtido"" si cada uno de los enteros $1,2,3,\cdots,n$ es la suma de algunos dígitos de $A$. Muestra que si $1,2,\cdots,8$ son sumas de algunos dígitos de un entero $A$, entonces $A$ es surtido. Si $1,2,\cdots,7$ son sumas de algunos dígitos de un entero $A$, ¿es $A$ necesariamente surtido? \nNota: El número $117$ no es surtido porque por ejemplo no se puede sumar a $3$ con algunos de sus dígitos, y $3<1+1+7$.

Encuentra todas las ternas de enteros positivos $(p,q,r)$ tales que $p$ y $q$ son primos y $r$ es par, de forma que $$p^3+q^2=4r^2+45r+103$$

Para un entero positivo $n$ se definen: $n_1$ como la suma de los dígitos de $n$, $n_2$ como la suma de los dígitos de $n_2$ y $n_3$ como la suma de los dígitos de $n_2$. Por ejemplo para $n=199$, $n_1=19$, $n_2=199_2=10$ y $n_3=199_3=1$. Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(m,n)$ tales que $m+n=2007$ y $m_3+n_2=2007_3$.

Un número $x$ es Tlahuica si existen primos positivos distintos $p_1, p_2, \cdots, p_k$ tales que \n$$ x=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\cdots+\frac{1}{p_k}$$\nDetermina el mayor número Tlahuica $x$ que satisface las dos siguientes propiedades:\n(1) $0<x<1$\n(2) existe un numero entero $0<m\leq 2022$ tal que $mx$ es un número entero.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB>AC>BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD=BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD=AC$ si y sólo si $\angle BAC=2\angle ABM$.

Sea $n$ un número entero mayor que $1$. ¿De cuántas formas se pueden acomodar todos los números $1,2,3,\cdots,2n$ en las casillas de una cuadrícula de $2\times n$, uno en cada casilla, de manera que cualesquiera dos números consecutivos se encuentren en casillas que comparten un lado en la cuadrícula?

Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$ hay $10$ números consecutivos pero no $11$.

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros positivos que se pueden encontrar de manera que cualesquiera dos de ellos $a$ y $b$ (Con $a\neq b$) cumplan que $|a-b|\geq \frac{ab}{100}$?

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $A$, tal que $AB<AC$. Sean $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ la intersección de $AC$ con la perpendicular a $BC$ que pasa por $M$. Sea $E$ la intersección de la paralela a $AC$ que pasa por $M$ con la perpendicular a $BD$ que pasa por $B$. Muestra que los triángulos $AEM$ y $MCA$ son semejantes si y solo si $\angle ABC=60^\circ$.

¿Cuál es el mayor número posible de cambios de dirección en un recorrido sobre las líneas de una cuadrícula de $2004\times 2004$ casillas, si el recorrido no pasa dos veces por el mismo lugar?