En una fiesta con $n$ personas, se sabe que de entre cualesquiera $4$ personas, hay $3$ de las $4$ que se conocen entre sí o hay $3$ que no se conocen entre sí. Muestra que las $n$ personas se pueden separar en dos salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro no hay dos personas que se conozcan entre sí. Nota. Conocerse se considera una relación mutua.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $AD$, $BE$ y $CF$ sus alturas. La circunferencia con diámetro $AD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $AD$ con $EF$ y $MN$, respectivamente. Muestra que $Q$ es el punto medio de $PD$.

Sea $ab$ un número entero de dos dígitos. Un entero positivo $n$ es "pariente" de $ab$ si el dígito de las unidades de $n$ también es $b$, y los otros dígitos de $n$ son distintos de cero y suman $a$. Por ejemplo, los parientes de $31$ son $31$, $121$, $211$ y $1111$. Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes.

Sean $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ dos circunferencias tales que el centro $O$ de $\mathcal{B}$ esté en $\mathcal{A}$. Sean $C$ y $D$ los dos puntos de intersección de las circunferencias. Se toman un punto $A$ en $\mathcal{A}$ y un punto $B$ en $\mathcal{B}$ tales que $AC$ es tangente a $\mathcal{B}$ en $C$ y $BC$ es tangente a $\mathcal{A}$ en el mismo punto $C$. El segmento $AB$ corta de nuevo a $\mathcal{B}$ en $E$ y ese mismo segmento corta de nuevo a $\mathcal{A}$ en $F$. La recta $CE$ vuelve a cortar a $\mathcal{A}$ en $G$ y la recta $CF$ corta a la recta $GD$ en $H$. Muestra que el punto de intersección de $GO$ y $EH$ es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $DEF$.

Sea $n>1$ un entero positivo y sean $d_1<d_2<\cdots <d_m$ sus $m$ divisores positivos de manera que $d_1=1$ y $d_m=n$. Lalo escribe los siguientes $2m$ números en un pizarrón:\n$$d_1, d_2, \cdots, d_m , d_1+d_2, d_2+d_3, \cdots, d_{m-1}+d_m, N$$\ndonde N es un entero positivo. Después Lalo borra los números repetidos (por ejemplo, si un número aparece dos veces, él borrará uno de los dos). Después de esto, Lalo nota que los números en el pizarrón son precisamente la losta completa de divisores positivos de N. Encuentra todos los posibles valores del entero positivo $n$.

Decimos que una lista de números enteros $a_1,a_2,a_3\cdots,a_m$ contiene una terna aritmética $a_i,a_j,a_k$ si $1<j<k$ y $2a_j=a_i+a_k$. Por ejemplo, $8,1,5,3,7$ tiene una terna aritmética $(8,5,2)$ pero $8,1,2,5,7$ no. Sea $n$ un entero positivo. Muestra que los números $1,2,3,\cdots, n$ se pueden reordenar en una lista que no contenga ternas aritméticas.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Muestra que $$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\leq 2$$

Dado un triángulo equilátero $ABC$, encuentra todos los puntos $P$ del plano que cumplan $\angle APB=\angle BPC$.

Sean $Z$ y $Y$ los puntos de tangencia del incírculo del triángulo $ABC$ con los lados $AB$ y $CA$, respectivamente. La paralela a $YZ$ por el punto medio $M$ del lado $BC$ corta a $CA$ en $N$. Sea $L$ el punto del segmento $CA$ tal que $NL=AB$ (con $L$ y $A$ del mismo lado con respecto a $N$). La recta $ML$ corta a $AB$ en $K$. Muestra que $KA=NC$.

Ana y Bety juegan un juego por turnos de manera alternada. Inicialmente Ana elige un entero positivo impar y compuesto $n$ tal que $2^j<n<2^{j+1}$ con $2<j$. En su primer turno Bety elige un entero positivo impar y compuesto $n_1$ tal que $$ n_1\leq \frac{1^n+2^n+\cdots+(n-1)^n}{2(n-1)^{n-1}}.$$ Luego en su turno, Ana elige un numero primo $p_1$ que divide a $n_1$. Si el primo que eligio Ana es $3,5$ o $7$, entonces Ana gana, de lo contrario Bety elige un entero positivo impar y compuesto $n_2$ tal que $$n_2\leq \frac{1^{p_1}+2^{p_1}+\cdots+(p_1-1)^{p_1}}{2(p_1-1)^{p_1-1}}.$$ Despues de eso en su turno, Ana elige un primo $p_2$ que divida a $n_2$, si $p_2$ es $3,5$ o $7$, Ana gana, de lo contrario el proceso se repite. Ademas, Ana gana en el caso que Bety no pueda elegir un entero positivo impar y compuesto en el rango correspondiente. Bety gana si logra jugar al menos $j-1$ turnos. Encuentra cual de las dos jugadoras tiene estrategia ganadora.