Una pareja de enteros es especial si es de la forma $(n,n-1)$ o de la forma $(n-1,n)$ con $n$ un entero positivo. Muestra que una pareja $(n,m)$ de enteros positivos que no es especial, se puede representar como suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros $n$ y $m$ satisfacen la desigualdad $n+m\geq (n-m)^2$.

Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la altura sobre el lado $BC$. Tomando a $D$ como centro y a $AD$ como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta $AB$ en $P$ , y corta a la recta $AC$ en $Q$. Muestra que el triángulo $AQP$ es semejante al triángulo $ABC$.

Las bisectrices internas de los ángulos $A,B$ y $C$ de un triángulo $ABC$ concurren en $I$ y cortan al circuncírculo de $ABC$ en $L,M,N$, respectivamente. La circunferencia de diámetro $IL$ corta al lado $BC$, en $D$ y $E$; la circunferencia de diámetro $IM$ corta al lado $CA$ en $F$ y $G$; la circunferencia de diámetro $IN$ corta al lado $AB$ en $H$ y $J$. Muestra que $D,E,F,G,H,J$ están sobre una misma circunferencia.

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideremos un punto $C$ sobre la recta $AB$ de modo que $B$ queda entre $A$ y $C$. Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, respectivamente, tales que que $CP$ es tangente a $\mathcal{C}_1$, $CQ$ es tangente a $\mathcal{C}_2$, $P$ no está dentro de $\mathcal{C}_2$ y $Q$ no está dentro de $mathcal{C}_1$. La recta $PQ$ corta de nuevo a $\mathcal{C}_1$ en $R$ y a $\mathcal{C}_2$ en $S$, ambos puntos distintos de $B$. Supongamos que $CR$ corta de nuevo a $\mathcal{C}_1$ en $X$ y $CS$ corta de nuevo a $\mathcal{C}_1$ en $Y$. Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$. Muestra que $SZ$ es paralela a $QX$ si y sólo si $PZ$ es paralela a $RX$.

Sea $A_1A_2\cdots A_8$ un octágono convexo, es decir, un octágono donde todos sus ángulos internos son menores que $180^\circ$. Además los lados del octágono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada $i=1,\cdots,8$, definamos el punto $B_i$ como la intersección del segmento $A_iA_{i+4}$ con el segmento $A_{i-1}A_{i+1}$, donde $A_{j+8}=A_j$ y $B_{j+8}=B_j$, para todo número entero $j$. Muestra que para algún número $i$, de entre los números $1,2,3$ y $4$, se cumple que $$\frac{A_iA_{i+4}}{B_iB_{i+4}}\leq \frac{3}{2}$$

Muestra que entre cualesquiera $14$ números enteros consecutivos siempre hay $6$ números tales que cualesquiera dos de ellos son primos relativos.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. \nMuestra que\n$$\frac{a^3}{a^3+2}+\frac{b^3}{b^3+2}+\frac{c^3}{c^3+2}\geq 1$$ y que $$\frac{1}{a^3+2}+\frac{1}{b^3+2}+\frac{1}{c^3+2}\leq 1.$$

Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula de $n\times 4$, cada región es igual a $$\boxed{2}\boxed{0}\boxed{1}\boxed{0}$$ Un "cambio" es tomar tres casillas consecutivas en el mismo renglón y con dígitos distintos escritos en ellas y cambiar los tres dígitos de estas casillas escritas de la siguiente manera $$0\to 1, \quad 1\to 2, \quad 2\to 0.$$ Por ejemplo, un renglón $\boxed{2}\boxed{0}\boxed{1}\boxed{0}$ puede cambiarse al renglón $\boxed{0}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{0}$ pero no al renglón $\boxed{2}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{1}$ pues $0$, $1$ y $0$ no son distintos entre sí. Los cambios se pueden aplicar cuantas veces se quiera, aún a renglones ya cambiados. Muestra que para $n<12$ no es posible hacer un número finito de cambios de forma que la suma de los números en cada una de las cuatro columnas sea la misma.

Se tienen $25$ focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros $24$ se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un $24$-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia. Se permite aplicar cualquiera de las siguientes dos operaciones: 1) Tomar dos vértices sobre la circunferencia tales que hay una cantidad impar de vértices en los arcos que definen, y cambiar el estado de los focos de estos dos vértices, así como del foco del centro. 2)Tomar tres vértices sobre la circunferencia que formen un triángulo equilátero, y cambiar el estado de los focos en estos tres vértices, así como del foco del centro. Muestra que partiendo de cualquier configuración inicial de focos encendidos y apagados, siempre es posible llegar a una configuración en la que todos los focos están encendidos.

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias tangentes exteriormente en un punto $A$. Se traza una recta tangente a $\mathcal{C}_1$ en $B$ y secante a $\mathcal{C}_2$ en $C$ y $D$; luego se prolonga el segmento $AB$ hasta intersecar a $\mathcal{C}_2$ en un punto $E$. Sea $F$ el punto medio del arco $CD$ sobre $\mathcal{C}_2$ que no contiene a $E$ y sea $H$ la intersección de $BF$ con $\mathcal{C}_2$. Muestra que $CD$, $AF$ y $EH$ son concurrentes.