Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$ tales que para cada entero $n$ se tiene: $$i) \sum_{k=1}^n f(k) \text{ es un cuadrado perfecto y}$$ $$ii) f(n)\mid n^3$$

En una mesa circular se sientan $n>2$ estudiantes. Al principio, cada estudiante tiene exactamente un dulce. En cada paso, cada estudiante hace una de las siguientes acciones: (A) Da un dulce al estudiante a su derecha o al de su izquierda. (B) Separa sus dulces en $2$ partes, posiblemente vacios, y da una de las dos partes al estudiante a su izquierda y el otro al que esta a su derecha. En cada paso todos los estudiantes actuan al mismo tiempo. Una configuracion de dulces se dice legitima si puede lograrse despues de un numero finito de pasos. Encuentra la cantidad de configuraciones legitimas.

Ángel tiene una bodega que tiene $100$ montones con $100$ pedazos de basura cada una. Cada mañana, Ángel hace exactamente una de los siguientes acciones: (a) Quita todos los pedazos de basura de una monton. (b) Quita un pedazo de basura de cada monton. Sin embargo, cada noche, un demonio se infiltra en su bodega y hace uno de las siguientes acciones: (i) Añade un pedazo de basura a cada monton (no vacio). (ii) Crea un nuevo monton de basura con un pedazo de basura. Cuantas mañanas necesita Ángel para garantizar que limpió toda la bodega.

Encuentra todos los polinomios monicos $f$ con coeficientes enteros que cumplan que: Existe un entero positivo $N$ tal que $p\mid 2(f(p)!)+1$ para todo primo $p>N$ y donde $f(p)$ es un entero positivo.

Sea $q$ un numero racional positivo. Dos hormigas empiezan en el punto $X$ en el plano. En cada minuto $n$, para $n=1,2,\ldots$ las hormigas se mueven en una de las direcciones norte, sur, este u oeste, y caminan por $q^n$ metros. Despues de algun numero de minutos, las hormigas estan en el mismo punto, pero sabemos que no tomaron exactamente el mismo camino. Determina todos los valores posibles de $q$.

Un cuadrilatero $ABCD$ esta inscrito en un circulo $k$ tal que $AB>CD$, y donde $AB$ no es paralelo a $CD$. Sea $M$ el punto de interseccion de las diagonales $AC$ y $BD$. La perpendicular desde $M$ a $AB$ corta a $AB$ en $E$. Si $EM$ es la bisectriz del angulo $\angle CED$ demuestra que $AB$ es el diametro de $k$.

Encuentra todos los primos $p$ y $q$ tales que $3p^{q-1}+1$ divide a $11^p+17^p$.

Alice y Bob juegan el siguiente juego. El juego empieza con varios montones de monedas. Alice empizea y en cada turno los jugadores escojen un monton de monedas con un numero par de monedas y mueven la mitad de las monedas a otro monton. El juego termina cuando un jugador no puede mover. Determina las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que si el juego empieza con dos montones con $a$ y $b$ monedas, Bob tiene una estrategia ganadora.

Encuentra todas las funciones inyectivas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todos los reales $x$ y enteros positivos $n$ se cumple, $$|\sum_{i=1}^n i(f(x+i+1)-f(f(x+i)))|<2016$$

Una cuadricula consiste de puntos de la forma $(m,n)$ con $|m|, |n|\leq 2019$ y $|m|+|n|<4038$. Llamamos los puntos de la cuadricula con $|m|=2019$ o $|n|=2019$ los puntos del perimetro. Las $4$ lineas $x=\pm 2019$ y $y=\pm 2019$ son las lineas del perimetro. Dos puntos en la cuadricula son vecinos si la distancia entre ellos es $1$. Ana y Bob juegan un juego en esta cuadricula. Ana empieza con una ficha en $(0,0)$. Despues toman turnos, donde Bob empieza. 1) En el turno de Bob, el borra a lo mucho $2$ puntos del perimetro. 2) Ana mueve su ficha exactamente tres pasos, cada paso consiste en mover la ficha a puntos vecinos que no han sido borrados. Si Ana logra poner su ficha en un punto del perimetro que no ha sido borrado el juego termina y Ana gana. Tendra Ana una estrategia ganadora?