Sea $ABCD$ un cuadrilatero ciclico con $AB<CD$. LAs diagonales se cortan en el punto $F$ y las linea $AD$ y $BC$ se cortan en $E$. Sean $K$ y $L$ los pies de las perpendiculares de $F$ en $AD$ y $BC$ respectivamente. Sean $M,S$ y $T$ los puntos medios de $EF$, $CF$ y $DF$ respectivamente, Demuestra que el segundo punto de interseccion de los circuncirculos de $MKT$ y $MLS$ esta en $CD$.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB<AC$ y $\omega$ su circuncirculo. Sean $t_B$ y $t_C$ las tangentes a $\omega$ en $B$ y $C$ respectivamente y sea $L$ la interseccion de las dos tangentes. La paralela a $AC$ por $B$ corta a $t_C$ en $D$ y la paralela a $AB$ por $C$ corta a $t_B$ en $E$. El circuncirculo de $BDC$ corta a $AC$ en $T$, con $T$ entre $A$ y $C$. El circuncirculo de $BEC$ corta a $AB$ en $S$ con $B$ entre $S$ y $A$. Demuestra que $ST$, $AL$ y $BC$ concurren.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo y escaleno. Sea $X$ y $Y$ dos puntos del segmento $BC$ tales que $\angle CAX=\angle YAB$. Sean $K$ y $S$ los pies de las perpendiculares de $B$ a $AX$ y $AY$ respectivamente. Sean $T$ y $L$ los pies de las perpendiculares de $C$ a $AX$ y $AY$ respectivamente. Demuestra que $KL,ST$ y $BC$ concurren.

Sea $\mathbb{P}$ el conjunto de numeros primos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{P}\to \mathbb{P}$ tales que para todo $p,q\in \mathbb{P}$: $$f(p)^{f(q)}+q^p=f(q)^{f(p)}+p^q$$

Sea $ABC$ un triangulo escaleno con incentro $I$ y circuncirculo $\omega$, Las lineas $AI,BI,CI$ intersecan a $\omega$ en $D,E,F$ respectivamente. Las paralelas a $BC,AC,AB$ por $I$ cortan a $EF,DF,DE$ en $K,L,M$ respectivamente. Demuestra que $K,L,M$ son colineales.

Sean $a,b$ y $c$ reales positivos. Demuestra que \n$$a^3b^6+b^3c^6+c^3a^6+3a^3b^3c^3\geq abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)$$

Sea $n$ un entero positivo. Un hexagono regular de lado $n$ se divide en triangulos equilateros de lado $1$ con lados paralelos a los lados del hexagono. Encuentra el numero de hexagonos regulares que tienen sus vertices en los vertices de los triangulos equilateros que se formaron.

Demuestra que entre cualesquiera $20$ enteros positivos, existe un entero $d$ tal que para todo entero $n$ se cumple: $$n\sqrt{d}\{n\sqrt{d}\}>\frac{5}{2}$$ donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$.

Sean $x,y$ y $z$ reales positivos tales que $xy+yz+zx=3xyz$. Demuestra la siguiente desigualdad y encuentra cuando se da la igualdad: \n$$x^2y+y^2z+z^2x\geq 2(x+y+z)-3$$

Un comite de $3366$ criticos de cine estan votando para los Oscars. Cada critico voto por un actor y una actriz. Despues de la votacion se vio que para cada entero $1\leq n\leq 100$ existe un actor o una actriz con exactamente $n$ votos. Demuestra que existen dos criticos que votaron por el mismo actor y actriz.