Un comite de $3366$ criticos de cine estan votando para los Oscars. Cada critico voto por un actor y una actriz. Despues de la votacion se vio que para cada entero $1\leq n\leq 100$ existe un actor o una actriz con exactamente $n$ votos. Demuestra que existen dos criticos que votaron por el mismo actor y actriz.

Decimos que un entero positivo $n$ es especial si existen enteros positivos $a,b,c,d$ tales que $$n=\frac{a^3+2b^3}{c^3+2d^3}.$$ Demuestra que i) Existen una cantidad infinita de enteros especiales. ii) $2014$ no es un entero especial.

Sea $ABCD$ un trapecio inscrito en el circulo $\Gamma$ con diametro $AB$. Sea $E$ la interseccion de las diagonales $AC$ y $BD$. El circulo con centro $B$ y radio $BE$ corta a $\Gamma$ en $K$ y $L$ ($K$ del mismo lado de $AB$ que $C$). La perpendicular a $BD$ por $E$ corta a $CD$ en $M$. Demuestra que $KM$ es perpendicular a $DL$.

Sea $ABC$ un triangulo con $\omega_A$ su excirculo opuesto a $A$. $\omega_A$ es tangente a $AB$ en $P$ y $AC$ en $Q$. El excirculo opuesto a $B$, $\omega_B$, es tangente a $BA$ en $M$ y $BC$ en $N$. Sea $K$ el pie de la perpendicular desde $C$ a $MN$ y sea $L$ el pie de la perpendicular de $C$ a $PQ$. Demuestra que el cuadrilatero $MKLP$ es ciclico.

Demuestra que para todos los reales positivos $x,y,z$ se cumple:\n$$\sum_{cyc} (x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx).$$

Considere un triángulo acutángulo $ABC$, con $AC>AB$, y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. El circuncírculo del triángulo $CEF$ y $\Gamma$ se cortan en $X$ y $C$, con $X\neq C$. La recta $BC$ y la tangente a $\Gamma$ por $A$ se cortan en $Y$. Sea $P$ el punto en el segmento $AB$ tal que $YP=YA$, con $P\neq A$, y sea $Q$ el punto donde se cortan $AB$ y la paralela a $BC$ que pasa por $Y$. Demuestre que $F$ es el punto medio de $PQ$.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+$ tales que se cumplen las siguientes condiciones: (i) $f(n!)=f(n)!$ para todo entero positivo $n$, (ii) si $m,n$ son enteros positivos distintos, entonces $m-n\mid f(m)-f(n)$.

Dados numeros reales $x,y,z$ tales que $x+y+z=0$, demuestra la siguiente desigualdad y determina cuando se da laigualdad:\n$$\frac{x(x+2)}{2x^2+1}+\frac{y(y+2)}{2y^2+1}+\frac{z(z+2)}{2z^2+1}\geq 0$$

Sea $ABCD$ un cuadrilatero ciclico que no es un trapezio y donde las diagonales se cortan en $E$. Los puntos medios de $AB$ y $CD$ son $F$ y $G$ respectivamente. Sea $\ell$ la linea paralela a $AB$ por $G$. Los pies de las perpendiculares desde $E$ a $\ell$ y $CD$ son $H$ y $K$ respectivamente. Demuestra que $EF$ y $HK$ son perpendiculares.

Considere un polígono regular de $n\geq 4$ lados, y sea $V$ un subconjunto de $r$ vértices del polígono. Demuestre que si $r(r-3)\geq n$, entonces existen al menos dos triángulos congruentes cuyos vértices pertenecen a $V$.