1 Se nos da un triángulo isósceles $ABC$ tal que $BC=a$ y $AB=BC=b$ . Los puntos variables $M\in (AC)$ y $N\in (AB)$ satisfacen $a^2\cdot AM \cdot AN = b^2 \cdot BN \cdot CM$ . Las rectas $BM$ y $CN$ se intersecan en $P$ . Halle el lugar geométrico del punto variable $P$ . Dan Branzei

3 Sea $n$ un entero positivo y sea $\mathcal{P}_n$ el conjunto de los polinomios enteros de la forma $a_0+a_1x+\ldots +a_nx^n$ donde $|a_i|\le 2$ para $i=0,1,\ldots ,n$ . Halle, para cada entero positivo $k$ , el número de elementos del conjunto $A_n(k)=\{f(k)|f\in \mathcal{P}_n \}$ . Marian Andronache

2 Una progresión aritmética infinita cuyos términos son enteros positivos contiene el cuadrado de un entero y el cubo de un entero. Demuestre que contiene la sexta potencia de un entero.

2 Todos los vértices de un pentágono convexo están en puntos de la retícula. Demuestre que el área del pentágono es al menos $\frac{5}{2}$ . Bogdan Enescu

3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ el polinomio $f(x)=(x^2+x)^{2^n}+1$ no puede descomponerse en el producto de dos polinomios enteros no constantes. Marius Cavachi

2 Sea $ n \ge 3$ un número primo y sean $ a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$ enteros. Demuestre que $ a_{1}, \cdots,a_{n}$ es una progresión aritmética si y solo si existe una partición de $ \{0, 1, 2, \cdots \}$ en conjuntos $ A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ tal que \[ a_{1} + A_{1} = a_{2} + A_{2} = \cdots = a_{n} + A_{n},\] donde $ x + A$ denota el conjunto $ \{x + a \vert a \in A \}$ .

4 Considere en el plano un conjunto finito de segmentos tal que la suma de sus longitudes es menor que $\sqrt{2}$ . Demuestre que existe una cuadrícula infinita de cuadrados unitarios que cubre el plano tal que las rectas que definen la cuadrícula no intersecan ninguno de los segmentos. Vasile Pop

1 Sea $n\ge 2$ un entero. Demuestre que existe un subconjunto $A\in \{1,2,\ldots ,n\}$ tal que: i) El número de elementos de $A$ es a lo sumo $2\lfloor\sqrt{n}\rfloor+1$ ii) $\{ |x-y| \mid x,y\in A, x\not= y\} = \{ 1,2,\ldots n-1 \}$ Radu Todor

1 Halle todas las funciones monótonas $u:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que tienen la propiedad de que existe una función estrictamente monótona $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que \[f(x+y)=f(x)u(x)+f(y) \] para todo $x,y\in\mathbb{R}$ . Vasile Pop

2 Halle todos los enteros positivos $ k$ para los cuales el siguiente enunciado es verdadero: Si $ F(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros que satisface la condición $ 0 \leq F(c) \leq k$ para cada $ c\in \{0,1,\ldots,k + 1\}$ , entonces $ F(0) = F(1) = \ldots = F(k + 1)$ .