1 Determine todos los polinomios $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ que satisfacen las dos condiciones siguientes: (a) $P(2017)=2016$ y (b) $(P(x)+1)^2=P(x^2+1)$ para todo número real $x$ . ThE-dArK-lOrD

2 Sea $ABCDE$ un pentágono regular con centro $M$ . Se elige un punto $P\neq M$ en el segmento $MD$ . La circunferencia circunscrita de $ABP$ interseca el segmento $AE$ en $A$ y $Q$ y la recta que pasa por $P$ perpendicular a $CD$ en $P$ y $R$ . Demuestre que $AR$ y $QR$ tienen la misma longitud. ThE-dArK-lOrD

3 Anna y Berta juegan un juego en el que se turnan para retirar canicas de una mesa. Anna realiza el primer turno. Cuando al comienzo del turno hay $n\geq 1$ canicas sobre la mesa, entonces la jugadora a quien le toca retira $k$ canicas, donde $k\geq 1$ es un número par con $k\leq \frac{n}{2}$ o un número impar con $\frac{n}{2}\leq k\leq n$ . Una jugadora gana el juego si retira la última canica de la mesa. Determine el menor número $N\geq 100000$ tal que Berta puede asegurar la victoria si hay exactamente $N$ canicas sobre la mesa al comienzo. ThE-dArK-lOrD

4 Halle todos los pares $(a,b)$ de enteros no negativos tales que $2017^a=b^6-32b+1$ . ThE-dArK-lOrD

Sea $n\ge 3$ un entero fijo. Hay $m\ge n+1$ cuentas en un collar circular. Se desea pintar las cuentas usando $n$ colores, de modo que entre cualesquiera $n+1$ cuentas consecutivas aparezca cada color al menos una vez. Halle el mayor valor de $m$ para el cual esta tarea $\emph{not}$ es posible. Carl Schildkraut, USA

Sea $r>1$ un número racional. Alicia juega un solitario en una recta numérica. Inicialmente hay una cuenta roja en $0$ y una cuenta azul en $1$ . En un movimiento, Alicia elige una de las cuentas y un entero $k \in \mathbb{Z}$ . Si la cuenta elegida está en $x$ , y la otra cuenta está en $y$ , entonces la cuenta en $x$ se mueve al punto $x'$ que satisface $x'-y=r^k(x-y)$ . Halle todos los $r$ para los cuales Alicia puede mover la cuenta roja a $1$ en a lo sumo $2021$ movimientos.

Sea $n\geqslant 1$ un entero, y sean $x_0,x_1,\ldots,x_{n+1}$ $n+2$ números reales no negativos que satisfacen $x_ix_{i+1}-x_{i-1}^2\geqslant 1$ para todo $i=1,2,\ldots,n.$ Demuestre que \[x_0+x_1+\cdots+x_n+x_{n+1}>\bigg(\frac{2n}{3}\bigg)^{3/2}.\] Pakawut Jiradilok y Wijit Yangjit, Tailandia

Un cazador y un conejo invisible juegan en una retícula cuadrada infinita. Primero el cazador fija una coloración de las celdas con finitos colores. El conejo elige entonces secretamente una celda para comenzar. Cada minuto, el conejo informa al cazador del color de su celda actual, y luego se mueve secretamente a una celda adyacente que no haya visitado antes (dos celdas son adyacentes si comparten una arista). El cazador gana si después de algún tiempo finito ocurre que: el conejo no puede moverse; o el cazador puede determinar la celda en la que comenzó el conejo. Determine si existe una estrategia ganadora para el cazador. Propuesto por Aron Thomas

Halle todos los enteros positivos $n$ con la propiedad siguiente: los $k$ divisores positivos de $n$ tienen una permutación $(d_1,d_2,\ldots,d_k)$ tal que para $i=1,2,\ldots,k$ , el número $d_1+d_2+\cdots+d_i$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes distintas dos a dos. Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$ . Las bisectrices interiores de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$ cortan a $AC$ en $B_1$ y $D_1$ , respectivamente. Sea $O_B$ el centro de la circunferencia que pasa por $B$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $D_1$ . De manera similar, sea $O_D$ el centro de la circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $B_1$ . Suponga que $\overline{BD_1} \parallel \overline{DB_1}$ . Demuestre que $O$ se encuentra sobre la recta $\overline{O_BO_D}$ .