Olimpiada Nacional de Irán 2010 Problema 5
$p$$p=12k+\{2,3,5,7,8,11\}$$k \in \mathbb N \cup \{0\}$$p^2$$\frac{100}{6}$
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China Second Round Olympiad 2018 Problema 1
1 Sean $a,b \in \mathbb R,f(x)=ax+b+\frac{9}{x}.$ . Demuestre que existe $x_0 \in \left[1,9 \right],$ tal que $|f(x_0)| \ge 2.$ .
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China Second Round Olympiad 2017 Problema 1
1 Dado un triángulo isósceles $ABC$ con lados iguales $AB=AC$ e incentro $I$ . Sea $\Gamma_1$ la circunferencia con centro en $A$ y radio $AB$ , y sea $\Gamma_2$ la circunferencia con centro en $I$ y radio $BI$ . Una circunferencia $\Gamma_3$ que pasa por $B,I$ interseca a $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ nuevamente en $P,Q$ (distintos de $B$ ) respectivamente. Sea $R$ la intersección de $PI$ y $BQ$ . Demuestre que $BR \perp CR$ .
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China Second Round Olympiad 2018 Problema 2
2 En el triángulo $\triangle ABC, AB=AC.$ Sea $D$ sobre el segmento $AC$ y sea $E$ un punto sobre la prolongación de la recta $BC$ tal que $C$ se encuentra entre $B$ y $E$ y $\frac{AD}{DC}=\frac{BC}{2CE}$ . Sea $\omega$ la circunferencia con diámetro $AB,$ y $\omega$ interseca al segmento $DE$ en $F.$ . Demuestre que $B,C,F,D$ son concíclicos.
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China Second Round Olympiad 2018 Problema 3
3 Sea el conjunto $A=\{1,2,\ldots,n\} ,$ y sean $X,Y$ dos subconjuntos (no necesariamente distintos) de $A.$ . Defina que $\textup{max} X$ y $\textup{min} Y$ representan el mayor elemento de $X$ y el menor elemento de $Y,$ , respectivamente. Determine el número de pares $(X,Y)$ que satisfacen $\textup{max} X>\textup{min} Y.$ .
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China Second Round Olympiad 2017 Problema 2
2 Sean $ x,y$ números reales tales que $x^2+2cosy=1$ . Halle el rango de $x-cosy$ .
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China Second Round Olympiad 2015 Problema 1
1 Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales. Demuestre que se pueden seleccionar $\varepsilon _1, \varepsilon _2, \ldots, \varepsilon _n\in\{-1,1\}$ tales que $$\left( \sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)^2 +\left( \sum_{i=1}^{n}\varepsilon _ia_{i}\right)^2 \leq(n+1)\left( \sum_{i=1}^{n}a^2_{i}\right).$$ .
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China Second Round Olympiad 2015 Problema 3
3 $P$ es un punto sobre el arco $\overarc{BC}$ de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ que no contiene a $A$ , $K$ se encuentra sobre el segmento $AP$ tal que $BK$ biseca a $\angle ABC$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle KPC$ corta a $AC,BD$ en $D,E$ respectivamente. $PE$ corta a $AB$ en $F$ . Demuestre que $\angle ABC=2\angle FCB$ .
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China Second Round Olympiad 2015 Problema 4
4 Halle todos los enteros positivos $k$ tales que para cualquier entero positivo $n$ , $2^{(k-1)n+1}$ no divide a $\frac{(kn)!}{n!}$ .
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China Second Round Olympiad 2015 Problema 1
1 Sean $a,b,c$ números reales no negativos. Demuestre que $$\frac{(a-bc)^2+(b-ca)^2+(c-ab)^2}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}\geq\frac{1}{2}.$$ .
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