G3 Se da un círculo $\omega$ con radio $1$ . Una colección $T$ de triángulos se llama buena , si se cumplen las siguientes condiciones: cada triángulo de $T$ está inscrito en $\omega$ ; no hay dos triángulos de $T$ que tengan un punto interior común. Determine todos los números reales positivos $t$ tales que, para cada entero positivo $n$ , exista una buena colección de $n$ triángulos, cada uno de perímetro mayor que $t$ .

3 $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. $M$ es el punto medio de $CD$ . Las diagonales se cortan en $P$ . La circunferencia que pasa por $P$ y es tangente a $CD$ en $M$ corta de nuevo a $AC$ en $R$ y a $BD$ de nuevo en $Q$ . El punto $S$ sobre $BD$ es tal que $BS = DQ$ . La recta que pasa por $S$ paralela a $AB$ corta a $AC$ en $T$ . Demuestre que $AT = RC$ .

4 Para enteros positivos $n, m$ defina $f(n,m)$ como sigue. Escriba una lista de $ 2001$ números $a_i$ , donde $a_1 = m$ , y $a_{k+1}$ es el residuo de $a_k^2$ $mod \, n$ (para $k = 1, 2,..., 2000$ ) . Luego ponga $f(n,m) = a_1-a_2 + a_3 -a_4 + a_5- ... + a_{2001}$ . ¿Para qué $n \ge 5$ podemos encontrar m tal que $2 \le m \le n/2$ y $f(m,n) > 0$ ?

13. El triángulo \(ABC\) tiene \(AB=9\) y \(BC: AC=40: 41\). ¿Cuál es el área más grande que puede tener este triángulo?

14 En el triángulo $ABC$, $A'$, $B'$ y $C'$ están sobre los lados $BC$, $AC$ y $AB$, respectivamente. Dado que $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes en el punto $O$, y que \[\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92,\] encuentra \[\frac{AO}{OA'}\cdot \frac{BO}{OB'}\cdot \frac{CO}{OC'}.\]

12 En un juego de Chomp, dos jugadores se turnan para morder un tablero de 5 por 7 cuadrados unitarios. Para dar una mordida, un jugador elige uno de los cuadrados restantes y luego elimina ("come") todos los cuadrados en el cuadrante definido por el borde izquierdo (extendido hacia arriba) y el borde inferior (extendido hacia la derecha) del cuadrado elegido. Por ejemplo, la mordida determinada por el cuadrado sombreado en el diagrama eliminaría el cuadrado sombreado y los cuatro cuadrados marcados con $\times.$ (Los cuadrados con dos o más bordes punteados ya fueron eliminados del tablero original en movimientos anteriores.) [asy] defaultpen(linewidth(0.7)); fill((2,2)--(2,3)--(3,3)--(3,2)--cycle, mediumgray); int[] array={5, 5, 5, 4, 2, 2, 2, 0}; pair[] ex = {(2,3), (2,4), (3,2), (3,3)}; draw((3,5)--(7,5)^^(4,4)--(7,4)^^(4,3)--(7,3), linetype("3 3")); draw((4,4)--(4,5)^^(5,2)--(5,5)^^(6,2)--(6,5)^^(7,2)--(7,5), linetype("3 3")); int i, j; for(i=0; i<7; i=i+1) { for(j=0; j<array[i]; j=j+1) { draw((i,j+1)--(i,j)--(i+1,j)); } draw((i,array[i])--(i+1,array[i])); if(array[i]>array[i+1]) { draw((i+1,array[i])--(i+1,array[i+1])); }} for(i=0; i<4; i=i+1) { draw(ex[i]--(ex[i].x+1, ex[i].y+1), linewidth(1.2)); draw((ex[i].x+1, ex[i].y)--(ex[i].x, ex[i].y+1), linewidth(1.2)); }[/asy] El objetivo del juego es hacer que el oponente tome la última mordida. El diagrama muestra uno de los muchos subconjuntos del conjunto de 35 cuadrados unitarios que pueden ocurrir durante el juego de Chomp. ¿Cuántos subconjuntos diferentes hay en total? Incluye el tablero completo y el tablero vacío en tu conteo.

A1 (a) Sea $ABC$ un triángulo cualquiera. Sean $X, Y, Z$ puntos sobre los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Supón que $BX \leq XC$, $CY \leq YA$, $AZ \leq ZB$. Muestra que el área del triángulo $XYZ$ es $\geq 1/4$ del área del triángulo $ABC$. (b) Sea $ABC$ un triángulo cualquiera, y sean $X, Y, Z$ puntos sobre los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Usando (a) o por cualquier otro método, muestra: Uno de los tres triángulos de las esquinas $AZY$, $BXZ$, $CYX$ tiene un área $\leq$ al área del triángulo $XYZ$.

A2 Considera una serie infinita cuyo $n$-ésimo término es $\pm (1\slash n)$, donde los signos $\pm$ se determinan según un patrón que se repite periódicamente en bloques de ocho (hay $2^{8}$ patrones posibles). (a) Demuestra que una condición suficiente para que la serie sea condicionalmente convergente es que haya cuatro signos "$+$" y cuatro signos "$-$" en el bloque de ocho signos. (b) ¿Es esta condición suficiente también necesaria?

A3 Sea $n$ un entero positivo fijo y sea $b(n)$ el valor mínimo de $$k+\frac{n}{k},$$ donde $k$ puede variar sobre todos los enteros positivos. Demuestra que $\lfloor b(n) \rfloor= \lfloor \sqrt{4n+1} \rfloor.$

A4 ¿Cuántos ceros tiene la función $f(x)=2^x -1 -x^2 $ en la recta real?