1 Sea $ABCDE$ un pentágono cíclico inscrito en una circunferencia de centro $O$ cuyos ángulos son $\angle B=120^{\circ},\angle C=120^{\circ},$ $\angle D=130^{\circ},\angle E=100^{\circ}$ . Demuestre que las diagonales $BD$ y $CE$ se cortan en un punto que pertenece al diámetro $AO$ . Dinu Șerbănescu

3 Sea $n$ un entero positivo. $S$ es el conjunto de los enteros no negativos $a$ tales que $1<a<n$ y $a^{a-1}-1$ es divisible por $n$ . Demuestre que si $S=\{ n-1 \}$ entonces $n=2p$ donde $p$ es un número primo. Mihai Cipu y Nicolae Ciprian Bonciocat

2 Halle el menor número real positivo $r$ con la siguiente propiedad: Cualesquiera que sean cuatro discos considerados, cada uno con centro sobre los lados de un cuadrado unitario y con la suma de sus radios igual a $r$ , existe un triángulo equilátero cuyos lados están contenidos en tres de los discos. Radu Gologan

4 Sea $f:\mathbb{Z}\rightarrow\{ 1,2,\ldots ,n\}$ una función tal que $f(x)\not= f(y)$ , para todo $x,y\in\mathbb{Z}$ tales que $|x-y|\in\{2,3,5\}$ . Demuestre que $n\ge 4$ . Ioan Tomescu

1 Sean $m,n$ enteros positivos de paridades distintas y tales que $m<n<5m$ . Demuestre que existe una partición en subconjuntos de dos elementos del conjunto $\{ 1,2,3,\ldots ,4mn\}$ tal que la suma de los números de cada conjunto es un cuadrado perfecto. Dinu Șerbănescu

1 Sea $(a_n)_{n\ge 1}$ una sucesión de enteros positivos definida por $a_1,a_2>0$ y $a_{n+1}$ es el menor divisor primo de $a_{n-1}+a_{n}$ , para todo $n\ge 2$ . Demuestre que un número real $x$ cuyos decimales son los dígitos de los números $a_1,a_2,\ldots a_n,\ldots $ escritos en orden, es un número racional. Laurentiu Panaitopol

2 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC\not= BC,AB<AC$ y sea $K$ su circunferencia circunscrita. La tangente a $K$ en el punto $A$ interseca la recta $BC$ en el punto $D$ . Sea $K_1$ la circunferencia tangente a $K$ y a los segmentos $(AD),(BD)$ . Denotamos por $M$ el punto donde $K_1$ toca a $(BD)$ . Demuestre que $AC=MC$ si y solo si $AM$ es la bisectriz del $\angle DAB$ . Neculai Roman

1 Halle todos los polinomios con coeficientes reales $P$ tales que \[ P(x)P(2x^2-1)=P(x^2)P(2x-1)\] para todo $x\in\mathbb{R}$ .

2 Los vértices $A,B,C$ y $D$ de un cuadrado se encuentran fuera de una circunferencia con centro en $M$ . Sean $AA',BB',CC',DD'$ tangentes a la circunferencia. Suponga que los segmentos $AA',BB',CC',DD'$ son los lados consecutivos de un cuadrilátero $p$ en el cual está inscrita una circunferencia. Demuestre que $p$ tiene un eje de simetría.

3 Halle el menor $n\in N$ tal que entre cualesquiera $n$ rayos en el espacio con un origen común existen dos que forman un ángulo agudo.