1. Alrededor de una circunferencia están escritos $2012$ números, cada uno de los cuales es igual a $1$ o $-1$. Si no hay $10$ números consecutivos que sumen $0$, encuentra todos los valores posibles de la suma de los $2012$ números.

Una función lineal por tramos está definida por \[f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \in [-1, 1) \\ 2 - x & \text{si } x \in [1, 3)\end{cases}\] y \(f(x + 4) = f(x)\) para todo número real \(x.\) La gráfica de \(f(x)\) tiene el patrón de dientes de sierra que se muestra abajo. Diagrama de RandomMath. https://i.ibb.co/JW8jH2Dr/image.png La parábola \(x = 34y^2\) interseca la gráfica de \(f(x)\) en un número finito de puntos. La suma de las coordenadas \(y\) de estos puntos de intersección se puede expresar en la forma \(\tfrac{a + b\sqrt c}d,\) donde \(a, b, c\) y \(d\) son enteros positivos, \(a, b\) y \(d\) tienen máximo común divisor igual a \(1,\) y \(c\) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \(a + b + c + d.\)

9 Halle el número de permutaciones $p_1,p_2,\ldots,p_{2023}$ de $1,2,\ldots,2023$ tales que $$p_1+|p_2-p_1|+|p_3-p_2|+\ldots+|p_{2023}-p_{2022}|+p_{2023}=4048.$$ YII.I.

8 Para cualquier entero $n\geq 2$ , calculamos el entero $h(n)$ aplicando el siguiente procedimiento a su representación decimal. Sea $r$ el dígito más a la derecha de $n$ . Si $r=0$ , entonces la representación decimal de $h(n)$ resulta de la representación decimal de $n$ eliminando este dígito más a la derecha $0$ . Si $1\leq r \leq 9$ dividimos la representación decimal de $n$ en una parte derecha maximal $R$ que consiste únicamente en dígitos no menores que $r$ y en una parte izquierda $L$ que o bien está vacía o bien termina con un dígito estrictamente menor que $r$ . Entonces la representación decimal de $h(n)$ consiste en la representación decimal de $L$ , seguida de dos copias de la representación decimal de $R-1$ . Por ejemplo, para el número $17,151,345,543$ , tendremos $L=17,151$ , $R=345,543$ y $h(n)=17,151,345,542,345,542$ . Demuestre que, comenzando con un entero arbitrario $n\geq 2$ , la aplicación iterada de $h$ produce el entero $1$ después de un número finito de pasos. Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria

2 Halle el menor número positivo m tal que para cualquier polinomio f(x) con coeficientes reales, existe un polinomio g(x) con coeficientes reales (de grado no mayor que m) tal que existen 2017 números distintos $a_1,a_2,...,a_{2017}$ tales que $g(a_i)=f(a_{i+1})$ para i=1,2,...,2017 donde los índices se toman módulo 2017. sengeki-niju

4 Dos jugadores juegan un juego de cartas. Tienen un mazo de $n$ cartas distintas. De cualesquiera dos cartas del mazo se sabe cuál de ellas es más fuerte (en este caso, si $A$ vence a $B$ , y $B$ vence a $C$ , entonces puede ocurrir que $C$ venza a $A$ ) . El mazo se reparte entre los jugadores de manera arbitraria. En cada turno los jugadores muestran la carta superior de su mazo, y aquel cuya carta sea más fuerte toma ambas cartas y las coloca al fondo de su mazo en el orden que prefiera. Demuestre que para cualquier distribución inicial de las cartas, los jugadores pueden, conociendo la situación, ponerse de acuerdo y actuar de modo que uno de los jugadores se quede sin cartas. E. Lakshtanov

3 Determine todos los polinomios de segundo grado con coeficientes enteros de la forma $P(X)=aX^{2}+bX+c$ que satisfacen: $P(a)=b$ , $P(b)=a$ , con $a\neq b$ .

6 En $\triangle ABC$ , $H$ es el ortocentro, y $AD,BE$ son cevianas arbitrarias. Sean $\omega_1, \omega_2$ las circunferencias con diámetros $AD$ y $BE$ , respectivamente. $HD,HE$ cortan de nuevo a $\omega_1,\omega_2$ en $F,G$ . $DE$ corta de nuevo a $\omega_1,\omega_2$ en $P_1,P_2$ , respectivamente. $FG$ corta de nuevo a $\omega_1,\omega_2$ en $Q_1,Q_2$ , respectivamente. $P_1H,Q_1H$ cortan a $\omega_1$ en $R_1,S_1$ , respectivamente. $P_2H,Q_2H$ cortan a $\omega_2$ en $R_2,S_2$ , respectivamente. Sea $P_1Q_1\cap P_2Q_2 = X$ , y $R_1S_1\cap R_2S_2=Y$ . Demuestre que $X,Y,H$ son colineales. Ray Li.

C6 Se nos da una baraja infinita de cartas, cada una con un número real en ella. Para cada número real $x$ , hay exactamente una carta en la baraja que tiene $x$ escrito en ella. Ahora dos jugadores extraen conjuntos disjuntos $A$ y $B$ de $100$ cartas cada uno de esta baraja. Nos gustaría definir una regla que declare a uno de ellos ganador. Esta regla debería satisfacer las siguientes condiciones: 1. El ganador depende solo del orden relativo de las $200$ cartas: si las cartas se colocan en orden creciente boca abajo y se nos dice qué carta pertenece a qué jugador, pero no qué números están escritos en ellas, aún podemos decidir el ganador. 2. Si escribimos los elementos de ambos conjuntos en orden creciente como $A =\{ a_1 , a_2 , \ldots, a_{100} \}$ y $B= \{ b_1 , b_2 , \ldots , b_{100} \}$ , y $a_i > b_i$ para todo $i$ , entonces $A$ vence a $B$ . 3. Si tres jugadores extraen tres conjuntos disjuntos $A, B, C$ de la baraja, $A$ vence a $B$ y $B$ vence a $C$ , entonces $A$ también vence a $C$ . ¿Cuántas maneras hay de definir tal regla? Aquí, consideramos dos reglas como diferentes si existen dos conjuntos $A$ y $B$ tales que $A$ vence a $B$ según una regla, pero $B$ vence a $A$ según la otra. Propuesto por Ilya Bogdanov, Rusia

4 Se dan $N$ puntos en el plano tales que no hay tres de ellos colineales, los cuales están coloreados de rojo, verde y negro.Consideramos todos los segmentos entre estos puntos y asignamos a cada segmento un "valor" de acuerdo con las siguientes condiciones: i. Si al menos uno de los extremos de un segmento es negro, entonces el "valor" del segmento es $0$ . ii. Si los extremos del segmento tienen el mismo color, rojo o verde, entonces el "valor" del segmento es $1$ . iii. Si los extremos del segmento tienen colores distintos pero ninguno de ellos es negro, entonces el "valor" del segmento es $-1$ . Determine la suma mínima posible de los "valores" de los segmentos.