1 Un conjunto finito $\mathcal{L}$ de rectas coplanares, sin tres de ellas concurrentes, se llama impar si, para toda recta $\ell$ en $\mathcal{L}$ , el número total de rectas de $\mathcal{L}$ cortadas por $\ell$ es impar. Demuestre que todo conjunto finito de rectas coplanares, sin tres de ellas concurrentes, se extiende a un conjunto impar de rectas coplanares. Dado un entero positivo $n$ , determine el entero no negativo más pequeño $k$ que satisface la siguiente condición: todo conjunto de $n$ rectas coplanares, sin tres de ellas concurrentes, se extiende a un conjunto impar de $n+k$ rectas coplanares.

3 Sea $ABC$ un triángulo y sea su incírculo $\gamma$ tangente a los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ , respectivamente. Sea $P$ un punto estrictamente en el interior de $\gamma.$ Los segmentos $PA,PB,PC$ cortan a $\gamma$ en $A_0,B_0,C_0$ , respectivamente. Sean $S_A,S_B,S_C$ los centros de las circunferencias $PEF,PFD,PDE$ , respectivamente, y sean $T_A,T_B,T_C$ los centros de las circunferencias $PB_0C_0,PC_0A_0,PA_0B_0$ , respectivamente. Demuestre que $S_AT_A, S_BT_B$ y $S_CT_C$ son concurrentes.

4 Sean $a$ y $b$ enteros positivos, y sean $A$ y $B$ conjuntos finitos de enteros que satisfacen (i) $A$ y $B$ son disjuntos; (ii) si un entero $i$ pertenece a $A$ o a $B$, entonces o bien $i+a$ pertenece a $A$ o bien $i-b$ pertenece a $B$. Demuestra que $a\left\lvert A \right\rvert = b \left\lvert B \right\rvert$. (Aquí $\left\lvert X \right\rvert$ denota el número de elementos del conjunto $X$.)

1 Sea $k>1$ un entero positivo. Un conjunto $S{}$ se llama bueno si existe una coloración de los enteros positivos con $k{}$ colores tal que ningún elemento de $S{}$ puede escribirse como la suma de dos enteros positivos distintos que tengan el mismo color. Halle el mayor entero positivo $t{}$ (en términos de $k{}$ ) para el cual el conjunto \[S=\{a+1,a+2,\ldots,a+t\}\] es bueno, para cualquier entero positivo $a{}$ .

Para $2k$ números reales $a_1, a_2, ..., a_k$, $b_1, b_2, ..., b_k$ define una sucesión de números $X_n$ mediante \[ X_n = \sum_{i=1}^k [a_i n + b_i] \quad (n=1,2,...). \] Si la sucesión $X_n$ forma una progresión aritmética, demuestra que $\textstyle\sum_{i=1}^k a_i$ debe ser un entero. Aquí $[r]$ denota el mayor entero menor o igual que $r$.

2 Determina todos los enteros positivos \(n\) para los cuales \(\dfrac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}\) es un entero. Aquí \([r]\) denota el mayor entero menor o igual que \(r\).

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD$, $BE$ y $CF$, y sea $O$ el centro de su circunferencia circunscrita. Demuestra que los segmentos $OA$, $OF$, $OB$, $OD$, $OC$, $OE$ dividen al triángulo $ABC$ en tres pares de triángulos que tienen áreas iguales.

N2 Sea $S \subset \{ 1, \dots, n \}$ un conjunto no vacío, donde $n$ es un entero positivo. Denotamos por $s$ al máximo común divisor de los elementos del conjunto $S$. Suponemos que $s \neq 1$ y sea $d$ su divisor más pequeño mayor que $1$. Sea $T \subset \{ 1, \dots, n \}$ un conjunto tal que $S \subset T$ y $|T| \ge 1 + \left[ \frac{n}{d} \right]$. Demuestra que el máximo común divisor de los elementos de $T$ es $1$. [Segunda versión] Sea $n(n \ge 1)$ un entero positivo y $U = \{ 1, \dots, n \}$. Sea $S$ un subconjunto no vacío de $U$ y sea $d (d \neq 1)$ el divisor común más pequeño de todos los elementos del conjunto $S$. Encuentra el entero positivo más pequeño $k$ tal que para cualquier subconjunto $T$ de $U$, que conste de $k$ elementos, con $S \subset T$, el máximo común divisor de todos los elementos de $T$ sea igual a $1$.

4 Determine todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente relación para todos los números reales $x$ e $y$ \[f(xf(y)-f(x))=2f(x)+xy.\]

1 Halle todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos impares tales que $n \mid 3m+1$ y $m \mid n^2+3$ .