4 Los puntos del plano con coordenadas enteras se numeran como se muestra abajo. ¿Cuáles son las coordenadas del número $2003$?

4 David dibuja una cuadrícula de $6\times 6$ de la cual retira un cuadrado de $2\times 2$ como se muestra en la figura. Luego traza un camino que comienza en la esquina superior izquierda y termina en la esquina inferior derecha, moviéndose solo a lo largo de los lados de la nueva cuadrícula, ya sea hacia abajo o hacia la derecha. Halle el número total de caminos distintos que David puede trazar.

5 En la figura mostrada, la circunferencia es tangente a todos los lados del cuadrado mayor, que tiene longitud $6$. Los cuatro triángulos rectángulos tienen exactamente el mismo tamaño y están uno al lado del otro, encerrando al cuadrado menor, cuyos vértices están sobre la circunferencia. Halle el área del triángulo sombreado.

2 La figura muestra dos circunferencias concéntricas en el punto $O$. En la circunferencia exterior se trazan cuerdas $AB$ , $BC$ , $CD$ , $ ...$ de modo que todas tocan a la circunferencia interior en un punto. Si $\angle ABC = 75^o$ , halle el número de cuerdas que deben trazarse antes de volver al punto de partida.

4 Dado un entero positivo $n > 1$ y un ángulo $\alpha < 90^o$ , Jaime dibuja una espiral $OP_0P_1...P_n$ de la siguiente forma (la figura muestra los primeros pasos): $\bullet$ Primero dibuja un triángulo $OP_0P_1$ con $OP_0 = 1$ , $\angle P_1OP_0 = \alpha$ y $P_1P_0O = 90^o$ $\bullet$ luego, para todo entero $1 \le i \le n$ dibuja el punto $P_{i+1}$ de modo que $\angle P_{i+1}OP_i = \alpha$ , $\angle P_{i+1}P_iO = 90^o$ y $P_{i-1}$ y $P_{i+1}$ están en semiplanos diferentes respecto de la recta $OP_i$ a) Si $n = 6$ y $\alpha = 30^o$ , halle la longitud de $P_0P_n$. b) Si $n = 2018$ y $\alpha= 45^o$ , halle la longitud de $P_0P_n$.

4 Dos triángulos rectángulos isósceles congruentes (con base de longitud 1) se deslizan sobre una recta como en la figura. ¿Cuál es el área máxima de superposición?

3 En la figura, $ABC$ y $CDE$ son triángulos rectángulos e isósceles. Los segmentos $AD$ y $BC$ se intersecan en $P$ , y los segmentos $CD$ y $BE$ se intersecan en $Q$. (a) Demuestre que el segmento $ PQ$ es paralelo al segmento $AE$. (b) Si $BP = 4$ y $DQ = 9$ , halle la medida del segmento $BD$.

4 La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los ángulos interiores de los triángulos pequeños son iguales. A cada uno de los trece puntos marcados se le asigna un color: verde o rojo. Demuestre que siempre habrá tres puntos del mismo color que sean vértices de un triángulo equilátero.

2 Hay barras de $ 1$ cm de largo con un número $ 1$ , $2$ o $3$ escrito en cada una de ellas. Hay una cantidad ilimitada de barras con cada número. Dos triángulos formados por tres barras se consideran diferentes si ninguno de ellos puede construirse con las barras del otro triángulo. (a) ¿Cuántos triángulos diferentes formados por tres barras son posibles? (b) Se forma un triángulo equilátero de lado $3$ cm usando $18$ barras, dividido en $9$ triángulos equiláteros, distintos entre sí por pares, de $1$ cm de lado cada uno. Halle la mayor suma posible de los números escritos en las $9$ barras del borde del triángulo grande.

4 Construyamos una familia $\{K_n\}$ de figuras geométricas siguiendo el patrón mostrado en las imágenes: donde cada hexágono (como el inicial) se construye cortando las dos esquinas superiores de un cuadrado, de tal manera que las dos figuras removidas sean triángulos isósceles idénticos y los tres lados superiores resultantes tengan la misma longitud. Continuando así, se produce un patrón con el cual podemos construir las figuras $K_n$ , para todo entero $n \ge 0$. Luego, denotamos por $P_n$ y $A_n$ el perímetro y el área de la figura $K_n$ , respectivamente. Si el lado del cuadrado para construir $K_0$ mide $x$ : (a) Calcule $P_0$ y $A_0$ (en términos de la longitud $x$. (b) Halle una fórmula explícita para $P_n$ y para $A_n$ , en términos de $x$ y de $n$. Simplifique sus respuestas. (c) Si $P_{2022} = A_{2022}$ , halle la medida de los seis lados de la figura $K_0$ , en su forma más simple.