4 Para enteros positivos $n, m$ defina $f(n,m)$ como sigue. Escriba una lista de $ 2001$ números $a_i$ , donde $a_1 = m$ , y $a_{k+1}$ es el residuo de $a_k^2$ $mod \, n$ (para $k = 1, 2,..., 2000$ ) . Luego ponga $f(n,m) = a_1-a_2 + a_3 -a_4 + a_5- ... + a_{2001}$ . ¿Para qué $n \ge 5$ podemos encontrar m tal que $2 \le m \le n/2$ y $f(m,n) > 0$ ?

13. El triángulo \(ABC\) tiene \(AB=9\) y \(BC: AC=40: 41\). ¿Cuál es el área más grande que puede tener este triángulo?

14 En el triángulo $ABC$, $A'$, $B'$ y $C'$ están sobre los lados $BC$, $AC$ y $AB$, respectivamente. Dado que $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes en el punto $O$, y que \[\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92,\] encuentra \[\frac{AO}{OA'}\cdot \frac{BO}{OB'}\cdot \frac{CO}{OC'}.\]

12 En un juego de Chomp, dos jugadores se turnan para morder un tablero de 5 por 7 cuadrados unitarios. Para dar una mordida, un jugador elige uno de los cuadrados restantes y luego elimina ("come") todos los cuadrados en el cuadrante definido por el borde izquierdo (extendido hacia arriba) y el borde inferior (extendido hacia la derecha) del cuadrado elegido. Por ejemplo, la mordida determinada por el cuadrado sombreado en el diagrama eliminaría el cuadrado sombreado y los cuatro cuadrados marcados con $\times.$ (Los cuadrados con dos o más bordes punteados ya fueron eliminados del tablero original en movimientos anteriores.) [asy] defaultpen(linewidth(0.7)); fill((2,2)--(2,3)--(3,3)--(3,2)--cycle, mediumgray); int[] array={5, 5, 5, 4, 2, 2, 2, 0}; pair[] ex = {(2,3), (2,4), (3,2), (3,3)}; draw((3,5)--(7,5)^^(4,4)--(7,4)^^(4,3)--(7,3), linetype("3 3")); draw((4,4)--(4,5)^^(5,2)--(5,5)^^(6,2)--(6,5)^^(7,2)--(7,5), linetype("3 3")); int i, j; for(i=0; i<7; i=i+1) { for(j=0; j<array[i]; j=j+1) { draw((i,j+1)--(i,j)--(i+1,j)); } draw((i,array[i])--(i+1,array[i])); if(array[i]>array[i+1]) { draw((i+1,array[i])--(i+1,array[i+1])); }} for(i=0; i<4; i=i+1) { draw(ex[i]--(ex[i].x+1, ex[i].y+1), linewidth(1.2)); draw((ex[i].x+1, ex[i].y)--(ex[i].x, ex[i].y+1), linewidth(1.2)); }[/asy] El objetivo del juego es hacer que el oponente tome la última mordida. El diagrama muestra uno de los muchos subconjuntos del conjunto de 35 cuadrados unitarios que pueden ocurrir durante el juego de Chomp. ¿Cuántos subconjuntos diferentes hay en total? Incluye el tablero completo y el tablero vacío en tu conteo.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo en el cual $AB <AC$ . El punto $E$ se encuentra sobre el lado $AC$ del triángulo, con $AB = AE$ . El segmento $AD$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ , y el punto $S$ es el centro de este arco $BC$ de esta circunferencia al cual no pertenece el punto $A$ . El punto $F$ es el simétrico del punto $D$ con respecto a $S$ . Demuestre que las rectas $F E$ y $AC$ son perpendiculares.

2 Sea $\,{\mathbb{R}}\,$ el conjunto de todos los números reales. Halle todas las funciones $\,f: {\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{R}}\,$ tales que \[ f\left( x^{2}+f(y)\right) =y+\left( f(x)\right) ^{2}\hspace{0.2in}\text{for all}\,x,y\in \mathbb{R}. \]

3 Considere $9$ puntos en el espacio, sin cuatro de ellos coplanares. Cada par de puntos está unido por una arista (es decir, un segmento de recta) y cada arista está coloreada de azul o de rojo o queda sin colorear. Halle el menor valor de $\,n\,$ tal que, siempre que exactamente $\,n\,$ aristas estén coloreadas, el conjunto de aristas coloreadas contenga necesariamente un triángulo todas cuyas aristas tengan el mismo color.

Sea una circunferencia inscrita del triángulo $ABC$, y 3 circunferencias cada una inscrita entre la circunferencia inscrita y los ángulos de $ABC$. Sean $r, r_1, r_2, r_3$ los radios de estas circunferencias ($r_1, r_2, r_3 < r$). Demuestra que $$r_1+r_2+r_3 \geq r$$

Sean $ \alpha,\beta,\gamma$ los ángulos de un triángulo. Demuestre que $csc^2\frac{\alpha}{2}+csc^2\frac{\beta}{2}+csc^2\frac{\gamma}{2} \ge 12$ y determine las condiciones para la igualdad.

1 Hay un cuadrilátero convexo $ ABCD $ que satisface $ \angle A=\angle D $ . Sean los puntos medios de $ AB, AD, CD $ iguales a $ L,M,N $ . Digamos que el punto de intersección de $ AC, BD $ es $ E $ . Digamos que el punto $ F $ que está sobre $ \overrightarrow{ME} $ satisface $ \overline{ME}\times \overline{MF}=\overline{MA}^{2} $ . Demuestre que $ \angle LFM=\angle MFN $ . :)