B6 Sea $$f(x) =\sum_{k=0}^{n} a_{k} \sin kx +b_{k} \cos kx,$$ donde $a_k$ y $b_k$ son constantes. Demuestra que si $|f(x)| \leq 1$ para $x \in [0, 2 \pi]$ y existen $0\leq x_1 < x_2 <\ldots < x_{2n} < 2 \pi$ con $|f(x_i )|=1,$ entonces $f(x)= \cos(nx +a)$ para alguna constante $a.$

B4 El plano euclidiano se divide en regiones al dibujar un número finito de circunferencias. Demuestra que es posible colorear cada una de estas regiones de rojo o azul de tal manera que no haya dos regiones adyacentes con el mismo color.

A3 Evalúa $$ \lim_{n\to \infty} \sum_{j=1}^{n^{2}} \frac{n}{n^2 +j^2 }. $$

A2 Para una función con valores reales $f(x,y)$ de dos variables reales positivas $x$ y $y$, define que $f$ está acotada linealmente si y solo si existe un número positivo $K$ tal que $|f(x,y)| < K(x+y)$ para todos los $x$ y $y$ positivos. Encuentra condiciones necesarias y suficientes sobre los números reales $\alpha$ y $\beta$ para que $x^{\alpha}y^{\beta}$ esté acotada linealmente.

A1 La gráfica de la ecuación $x^y =y^x$ en el primer cuadrante consiste en una recta y una curva. Encuentra las coordenadas de la intersección de la recta y la curva.

A4 Sea $\Omega(n)$ el número de factores primos de $n$. Define $f(1)=1$ y $f(n)=(-1)^{\Omega(n)}$. Además, sea $$F(n)=\sum_{d|n} f(d).$$ Demuestra que $F(n)=0,1$ para todos los enteros positivos $n$. ¿Para qué enteros $n$ es $F(n)=1$?

9.1 Un saltamontes está sentado en un vértice de un triángulo equilátero de lado $1$ . En cada movimiento, el saltamontes elige uno de los vértices del triángulo y salta hacia él, reduciendo a la mitad su distancia a ese vértice. ¿Puede el saltamontes, tras varios saltos, acercarse a menos de $0.1$ del baricentro (intersección de las medianas) del triángulo?

A7 Sea $S$ un conjunto cerrado no vacío en el plano euclidiano para el cual existe un disco cerrado $D$ que contiene a $S$ tal que $D$ es un subconjunto de todo disco cerrado que contiene a $S$. Demuestra que todo punto dentro de $D$ es el punto medio de un segmento que une dos puntos de $S$.

B1 Sea $a_1 , a_2 , a_3 ,\ldots$ una sucesión de números reales positivos, define $s_n = \frac{a_1 +a_2 +\ldots+a_n }{n}$ y $r_n = \frac{a_{1}^{-1} +a_{2}^{-1} +\ldots+a_{n}^{-1} }{n}.$ Dado que $\lim_{n\to \infty} s_n $ y $\lim_{n\to \infty} r_n $ existen, demuestra que el producto de estos límites no es menor que $1.$

B2 Sean $a$ y $b$ números reales positivos dados, con $a<b.$ Si se seleccionan dos puntos al azar de un segmento de recta de longitud $b,$ ¿cuál es la probabilidad de que la distancia entre ellos sea al menos $a?$