8.8 Vitya y Masha juegan un juego. Al principio, Vitya piensa en tres enteros distintos. En un movimiento, Masha puede preguntar uno de los siguientes tres números: la suma de los números, el producto de los números o la suma de los productos por pares de los números. Masha hace preguntas y Vitya responde inmediatamente antes de que Masha haga la siguiente pregunta. a) Demuestre que Masha siempre puede adivinar los números de Vitya. b) ¿Cuál es la menor cantidad de preguntas que Masha necesita hacer para adivinarlos con certeza?

1 Encuentra todos los tripletes \( (x,y,z) \) de números reales tales que \[ 2x^3 + 1 = 3zx \] \[ 2y^3 + 1 = 3xy \] \[ 2z^3 + 1 = 3yz \]

9.1 Dado un triángulo isósceles $ABC$ con base $BC$ . Sobre los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ se eligen respectivamente los puntos $X,Y$ y $Z$ tales que los triángulos $ABC$ y $YXZ$ son semejantes. El punto $W$ es simétrico al punto $X$ con respecto al punto medio de $BC$ . Demuestre que los puntos $X,Y,Z$ y $W$ están sobre una circunferencia.

9.2 Demuestre la desigualdad $$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{2022!}>\frac{1^2}{2!}+\frac{2^2}{3!}+\frac{3^2}{4!}+\ldots+\frac{2022^2}{2023!}$$ .

9.3 Los enteros positivos $a$ y $b$ satisfacen la igualdad $a+d(a)=b^2+2$ , donde $d(n)$ denota el número de divisores de $n$ . Demuestre que $a+b$ es par.

9.4 Los números $1,2,\ldots,50$ están escritos en la pizarra. Anya realiza la siguiente operación: quita de la pizarra los números $a$ y $b$ y escribe su suma $a+b$ , tras lo cual también anota el número $ab(a+b)$ . Después de $49$ de estas operaciones solo quedó un número en la pizarra. Anya sumó los $49$ números de sus anotaciones y obtuvo $S$ . a) Demuestre que $S$ no depende del orden de las acciones de Anya. b) Calcule $S$ .

9.5 Dados $n \geq 2$ enteros distintos mayores que $-10$ . Resulta que la cantidad de números impares entre ellos es igual al mayor número par, y la cantidad de pares es igual al mayor de los impares. a) Halle el menor $n$ posible. b) Halle el mayor $n$ posible.

9.6 Dado un triángulo $ABC$ en el cual $\angle CAB= 30^{\circ}$ y $\angle ACB=60^{\circ}$ . Sobre el rayo $AB$ se elige un punto $D$ , y sobre el rayo $CB$ se elige un punto $E$ tal que $\angle BDE=60^{\circ}$ . Las rectas $AC$ y $DE$ se intersecan en $F$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $AEF$ pasa por un punto fijo, distinto de $A$ , que no depende de $D$ .

9.7 Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ existen números coprimos $a$ y $b$ tales que, para todo $1 \leq k \leq n$ , los números $a+k$ y $b+k$ no son coprimos.

9.8 ¿Existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros para el cual $$p(\sqrt{2})=\sqrt{2}$$ $$p(2\sqrt{2})=2\sqrt{2}+2$$ ?