5 Todo punto de coordenadas enteras en el plano es el centro de un disco de radio $1/1000$ . (1) Demuestre que existe un triángulo equilátero cuyos vértices están en discos diferentes. (2) Demuestre que todo triángulo equilátero con vértices en discos diferentes tiene lado mayor que $96$ . Radu Gologan, Rumania Observación El \"> 96\" en (b) puede reforzarse a \"> 124\". Por cierto, la parte (a) de este problema es el lugar donde usé el conocido teorema de \"Dedekind\" .

2007 g3 En un triángulo $ABC$ , consideramos la circunferencia $\Gamma$ de radio $AC$ y centro $C$ . Sea $D$ el segundo punto de intersección de la bisectriz de $\angle BAC$ con $\Gamma$ , $E$ el segundo punto de intersección de $CD$ con $\Gamma$ , y sea $F$ el punto medio de $AB$ . Demuestre que $AD$ , $BE$ y $CF$ son concurrentes.

3 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 90^o, \angle B = 75^o$ y $AB = 2$ . Los puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AC$ y $BC$ respectivamente son tales que $\angle APB = \angle CPQ$ y $\angle BQA = \angle CQP$ . Calcule la medida del segmento $QA $ .

1 Para $k=1,2,\ldots ,2011$ denotamos $S_k=\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\cdots +\frac{1}{2011}$ . Calcule la suma $S_1+S_1^2+S_2^2+\cdots +S_{2011}^2$ .

6 En cada casilla de un tablero de $2012\times 2012$ hay una persona. Las personas son o bien honestas, que siempre dicen la verdad, o bien mentirosas, que siempre mienten. En un momento dado, cada persona hace la misma afirmación: "En mi fila hay la misma cantidad de mentirosos que en mi columna." Determine el número mínimo de personas honestas que puede haber en el tablero.

5 Halle todos los enteros $n$ tales que $1<n<10^6$ y $n^3-1$ es divisible por $10^6 n-1$ .

1 Se han marcado $2009$ puntos sobre una circunferencia. Lucía los colorea con $7$ colores distintos a su elección. Luego Ivan puede unir tres puntos del mismo color, formando así triángulos monocromáticos. Los triángulos no pueden tener puntos en común; ni siquiera vértices en común. El objetivo de Ivan es dibujar la mayor cantidad posible de triángulos monocromáticos. El objetivo de Lucía es dificultar lo más posible la tarea de Iván mediante una buena elección de colores. ¿Cuántos triángulos monocromáticos obtendrá Ivan si ambos hacen su tarea lo mejor posible?

2 En una habitación hay $2005$ cajas, cada una de las cuales contiene una o varias clases de frutas y, por supuesto, una cantidad entera de cada fruta. a) Demuestre que podemos encontrar $669$ cajas que en total contengan al menos un tercio de todas las manzanas y al menos un tercio de todos los plátanos. b) ¿Podemos encontrar siempre $669$ cajas que en total contengan al menos un tercio de todas las manzanas, al menos un tercio de todos los plátanos y al menos un tercio de todas las peras?

6 En una fila se han escrito los números $1,2,...,2010$ . Dos jugadores, por turnos, escriben $+$ o $\times$ entre dos números consecutivos siempre que sea posible. El primer jugador gana si la suma algebraica obtenida es divisible por $3$ ; en caso contrario, gana el segundo jugador. Halle una estrategia ganadora para uno de los jugadores.

2 Halle todas las soluciones reales del sistema \[\begin{cases}x^2 + y^2 - z(x + y) = 2, \\ y^2 + z^2 - x(y + z) = 4, \\ z^2 + x^2 - y(z + x) = 8.\end{cases}\]