1 Demuestre que en cualquier polígono convexo con $4n+2$ lados ( $n\geq 1$ ) existen dos lados consecutivos que forman un triángulo de área a lo sumo $\frac 1{6n}$ del área del polígono. Valentin

3 Una sucesión de números reales $\{a_n\}_n$ se llama sucesión bs si $a_n = |a_{n+1} - a_{n+2}|$ , para todo $n\geq 0$ . Demuestre que una sucesión bs es acotada si y solo si la función $f$ dada por $f(n,k)=a_na_k(a_n-a_k)$ , para todo $n,k\geq 0$ es la función nula. Mihai Baluna - ISL 2004 Valentin

3 Sea $n>1$ un entero. Un conjunto $S \subset \{ 0,1,2, \ldots, 4n-1\}$ se llama raro si, para cualquier $k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ , las siguientes dos condiciones se cumplen al mismo tiempo (1) el conjunto $S\cap \{4k-2,4k-1,4k, 4k+1, 4k+2 \}$ tiene a lo sumo dos elementos; (2) el conjunto $S\cap \{4k+1,4k+2,4k+3\}$ tiene a lo sumo un elemento. Demuestre que el conjunto $\{0,1,2,\ldots,4n-1\}$ tiene exactamente $8 \cdot 7^{n-1}$ subconjuntos raros. Valentin

2 Sean $m,n$ enteros coprimos, tales que $m$ es par y $n$ es impar. Demuestre que la siguiente expresión no depende de los valores de $m$ y $n$ : \[ \frac 1{2n} + \sum^{n-1}_{k=1} (-1)^{\left[ \frac{mk}n \right]} \left\{ \frac {mk}n \right\} . \] Bogdan Enescu Valentin

2 Sobre las aristas de un poliedro convexo dibujamos flechas de modo que desde cada vértice al menos una flecha apunta hacia adentro y al menos una apunta hacia afuera. Demuestre que existe una cara del poliedro tal que las flechas sobre sus aristas forman un circuito. Dan Schwartz Valentin

1 Resuelva la ecuación $3^x=2^xy+1$ en enteros positivos. Valentin

1 Sea $a\in\mathbb{R}-\{0\}$ . Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f(a+x) = f(x) - x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ . Dan Schwartz Valentin

3 Sea $n\geq 0$ un entero y sea $p \equiv 7 \pmod 8$ un número primo. Demuestre que \[ \sum^{p-1}_{k=1} \left \{ \frac {k^{2^n}}p - \frac 12 \right\} = \frac {p-1}2 . \] Călin Popescu Valentin

4 a) Demuestre que existe una sucesión de dígitos $\{c_n\}_{n\geq 1}$ tal que para cada $n\geq 1$ , sin importar cómo intercalemos $k_n$ dígitos, $1\leq k_n\leq 9$ , entre $c_n$ y $c_{n+1}$ , la sucesión infinita así obtenida no representa la parte fraccionaria de un número racional. b) Demuestre que para $1\leq k_n\leq 10$ no existe tal sucesión $\{c_n\}_{n\geq 1}$ . Dan Schwartz Valentin

1 En un tablero de ajedrez de $2004 \times 2004$ hay 2004 reinas tales que no hay dos que se ataquen entre sí\footnote[1]{dos reinas se atacan entre sí si se encuentran en la misma fila, columna o dirección paralela a una de las diagonales principales del tablero}. Demuestre que existen dos reinas tales que el rectángulo en el cual los centros de las casillas sobre las que se encuentran las reinas son dos esquinas opuestas tiene semiperímetro 2004. Valentin