1 El cuadrilátero $ ABCD$ está inscrito en una circunferencia que tiene a $ BD$ como diámetro. Sean $ A',B'$ los puntos simétricos de $ A,B$ con respecto a la recta $ BD$ y $ AC$ respectivamente. Si $ A'C \cap BD = P$ y $ AC\cap B'D = Q$ , entonces demuestre que $ PQ \perp AC$ Litlle

3 Dados dos enteros $n\geq 1$ y $q\geq 2$ , sea $A=\{(a_1,\ldots ,a_n):a_i\in\{0,\ldots ,q-1\}, i=1,\ldots ,n\}$ . Si $a=(a_1,\ldots ,a_n)$ y $b=(b_1,\ldots ,b_n)$ son dos elementos de $A$ , sea $\delta(a,b)=\#\{i:a_i\neq b_i\}$ . Sea además $t$ un entero no negativo y $B$ un subconjunto no vacío de $A$ tal que $\delta(a,b)\geq 2t+1$ , siempre que $a$ y $b$ sean elementos distintos de $B$ . Demuestre que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: a) Para cualquier $a\in A$ , existe un único $b\in B$ , tal que $\delta (a,b)\leq t$ ; b) $\displaystyle|B|\cdot \sum_{k=0}^t \binom{n}{k}(q-1)^k=q^n$

G4 Sea $MAZN$ un trapecio isósceles inscrito en una circunferencia $(c)$ con centro $O$. Supón que $MN$ es un diámetro de $(c)$ y sea $B$ el punto medio de $AZ$. Sea $(\epsilon)$ la recta perpendicular a $AZ$ que pasa por $A$. Sea $C$ un punto sobre $(\epsilon)$, sea $E$ el punto de intersección de $CB$ con $(c)$ y supón que $AE$ es perpendicular a $CB$. Sea $D$ el punto de intersección de $CZ$ con $(c)$ y sea $F$ el punto antidiamétrico de $D$ en $(c)$. Sea $P$ el punto de intersección de $FE$ y $CZ$. Supón que las tangentes a $(c)$ en los puntos $M$ y $Z$ cortan a las rectas $AZ$ y $PA$ en los puntos $K$ y $T$, respectivamente. Demuestra que $OK$ es perpendicular a $TM$. Theoklitos Parayiou, Chipre

3 Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo con todos los lados de longitud 1. Demuestre que uno de los radios de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ ACE$ o $ BDF$ es al menos 1. Valentin

4 Demuestre que existe un conjunto $ S$ de $ n - 2$ puntos en el interior de un polígono convexo $ P$ de $ n$ lados, tal que cualquier triángulo determinado por $3$ vértices de $ P$ contenga exactamente un punto de $ S$ en su interior o en sus fronteras. Valentin

5 Halle el máximo común divisor de los números \[ 2^{561}-2, 3^{561}-3, \ldots, 561^{561}-561.\] Valentin

G3 Sea $ABC$ un triángulo. Sobre los lados $BC$, $CA$, $AB$ del triángulo, construye hacia afuera tres cuadrados con centros $O_a$, $O_b$, $O_c$ respectivamente. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $O_aO_bO_c$. Dado que $A$ está sobre $\omega$, demuestra que el centro de $\omega$ está sobre el perímetro del triángulo $ABC$. Sam Bealing, Reino Unido

1 Sea $ n \geq 3$ un entero impar. Determine el valor máximo de \[ \sqrt{|x_{1}-x_{2}|}+\sqrt{|x_{2}-x_{3}|}+\ldots+\sqrt{|x_{n-1}-x_{n}|}+\sqrt{|x_{n}-x_{1}|},\] donde $ x_{i}$ son números reales positivos del intervalo $ [0,1]$ .

1 Halle todos los enteros $n$ , $n \ge 1$ , tales que $n \cdot 2^{n+1}+1$ es un cuadrado perfecto.

2 Halle n tal que $36^n-6$ sea el producto de tres números naturales consecutivos