3 Dado un entero positivo $A$ escrito en su expansión decimal: $(a_{n},a_{n-1}, \ldots, a_{0})$ y sea $f(A)$ la expresión $\sum^{n}_{k=0} 2^{n-k}\cdot a_k$ . Defina $A_1=f(A), A_2=f(A_1)$ . Demuestre que: I. Existe un entero positivo $k$ para el cual $A_{k+1}=A_k$ . II. Halle dicho $A_k$ para $19^{86}.$

1 Sea $n \ge 2$ un entero. Hay $n$ cuentas numeradas $1, 2, \ldots, n$ . Dos collares formados con algunas de estas cuentas se consideran iguales si podemos obtener uno rotando el otro (sin permitir volteos). Por ejemplo, con $n \ge 5$ , el collar con cuatro cuentas $1, 5, 3, 2$ en el orden horario es igual al que tiene $5, 3, 2, 1$ en el orden horario, pero es diferente del que tiene $1, 2, 3, 5$ en el orden horario. Denotamos por $D_0(n)$ (respectivamente $D_1(n)$ ) el número de maneras en que podemos usar todas las cuentas para formar un número par (resp. un número impar) de collares, cada uno de longitud al menos $3$ . Demuestre que $n - 1$ divide a $D_1(n) - D_0(n)$ .

A6 Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x$ y $y$ , \[ f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy). \] Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

13 La ecuación \[ x^{10}+(13x-1)^{10}=0 \] tiene 10 raíces complejas $r_1, \overline{r_1}, r_2, \overline{r_2}, r_3, \overline{r_3}, r_4, \overline{r_4}, r_5, \overline{r_5},$ donde la barra denota conjugación compleja. Encuentra el valor de \[ \frac 1{r_1\overline{r_1}}+\frac 1{r_2\overline{r_2}}+\frac 1{r_3\overline{r_3}}+\frac 1{r_4\overline{r_4}}+\frac 1{r_5\overline{r_5}}. \]

8 Dado un conjunto $I=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)|x_i\in\{1,2,\cdots,11\}\}$ . Sea $A\subseteq I$ tal que, para cualesquiera $(x_1,x_2,x_3,x_4),(y_1,y_2,y_3,y_4)\in A$ , existen $i,j(1\leq i<j\leq4)$ con $(x_i-x_j)(y_i-y_j)<0$ . Halle el valor máximo de $|A|$ .

22 Un pastel con forma de triángulo equilátero de longitud de lado $5$ se corta en $25$ piezas triangulares equiláteras unitarias. Jacob selecciona dos lados distintos del pastel, y luego elige un punto independiente y uniformemente al azar en cada uno de los dos lados seleccionados. Corta a lo largo de la recta que pasa por estos dos puntos. Calcule el número esperado de piezas de pastel después de todos los cortes. A continuación hay un ejemplo del proceso, con los puntos siendo los puntos seleccionados y la línea punteada siendo el corte de Jacob. Este corte resulta en $32$ piezas.

6 Las paralelas a los lados de un triángulo que pasan por un punto interior dividen el interior del triángulo en $6$ partes con las áreas marcadas como en la figura. Muestre que $\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\ge \frac{3}{2}$

6 Como se muestra en la figura, sea el punto $E$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$. El circuncentro del triángulo $ABE$ se denota como $K$. El punto $X$ es la reflexión del punto $B$ con respecto a la recta $CD$ , y el punto $Y$ es el punto del plano tal que el cuadrilátero $DKEY$ es un paralelogramo. Demuestre que los puntos $D,E,X,Y$ son concíclicos.

5 En un tablero de $2\times 7$ cuadriculado en cuadrados de $1\times 1$, se consideran los $24$ puntos que son vértices de los cuadrados. Juan y Matías juegan en este tablero. Juan pinta de rojo la misma cantidad de puntos en cada una de las tres líneas horizontales. Si Matías puede elegir tres puntos rojos que sean vértices de un triángulo agudo, Matías gana el juego. ¿Cuál es el número máximo de puntos que Juan puede colorear para asegurarse de que Matías no gane? (Para el número encontrado, da un ejemplo de coloreado que impida que Matías gane y justifica por qué si el número es mayor, Matías siempre puede ganar.)

4 En las figuras, los vértices están marcados con un círculo. Los segmentos que unen vértices se llaman caminos. Se distribuyen enteros no negativos en los vértices y, en los caminos, las diferencias entre los números en sus extremos. Diremos que una distribución de números es graciosa si todos los números del $1$ al $n$ aparecen en los caminos, donde $n$ es el número de caminos. El siguiente es un ejemplo de distribución graciosa: Da —si es posible— una distribución graciosa para las siguientes figuras. Si no puedes hacerlo, muestra por qué.