2 Sea $S=\{A_1,A_2,\ldots ,A_n\}$ , donde $A_1,A_2,\ldots ,A_n$ son $n$ conjuntos finitos dos a dos distintos $(n\ge 2)$ , tales que para cualesquiera $A_i,A_j\in S$ , $A_i\cup A_j\in S$ . Si $k= \min_{1\le i\le n}|A_i|\ge 2$ , demuestre que existe $x\in \bigcup_{i=1}^n A_i$ , tal que $x$ se encuentra en al menos $\frac{n}{k}$ de los conjuntos $A_1,A_2,\ldots ,A_n$ (Aquí $|X|$ denota el número de elementos del conjunto finito $X$ ) .

1 La sucesión ${a_{n}}$ , $n\in \mathbb{N}$ , está dada de manera recursiva por $a_{1}=1$ , $a_{n}=\prod_{i=1}^{n-1} a_{i}+1$ , para todo $n\geq 2$ . Determine el menor número $M$ tal que $\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{a_{n}} <M$ para todo $m\in \mathbb{N}$

1 Se da un cuadrado $ABCD$ . Se elige un punto $P$ dentro del triángulo $ABC$ tal que $\angle CAP = 15^\circ = \angle BCP$ . Se elige un punto $Q$ tal que $APCQ$ es un trapecio isósceles: $PC \parallel AQ$ , y $AP=CQ, AP\nparallel CQ$ . Denote por $N$ el punto medio de $PQ$ . Halle los ángulos del triángulo $CAN$ .

2017.3 Sea \(ABC\) un triángulo rectángulo con el ángulo recto en el vértice \(C\). Un círculo \(k\) con diámetro \(AC\) interseca el lado \(AB\) en el punto \(D\), y la tangente al círculo \(k\) en el punto \(D\) interseca el lado \(BC\) en el punto \(E\). El círculo circunscrito alrededor del triángulo \(CDE\) interseca el lado \(AB\) en los puntos \(D\) y \(F\). Determina la razón de las áreas de los triángulos \(ABC\) y \(BEF\).

2018.3 Sea \(ABCD\) un cuadrado y \(k\) una circunferencia con centro en el punto \(B\) que pasa por los puntos \(A\) y \(C\), y sea \(T\) un punto sobre la circunferencia \(k\) dentro del cuadrado dado. La tangente a la circunferencia \(k\) en el punto \(T\) interseca a los segmentos \(CD\) y \(DA\) en los puntos \(E\) y \(F\), respectivamente. Sean \(G\) y \(H\) las intersecciones de los segmentos \(BE\) y \(BF\) con el segmento \(AC\), respectivamente. Demuestra que las rectas \(BT\), \(EH\) y \(FG\) pasan por el mismo punto.

2019.3 Los puntos $A,B,C$ y $D$ están dados sobre la circunferencia de modo que $| AB| = | BC | = | CD |$ . Sean las bisectrices de los ángulos $\angle ACD$ y $\angle ABD$ que se intersectan en el punto $E$ . Si las rectas $AE$ y $CD$ son paralelas, determina $\angle ABC$ .

2020.1.3 Los círculos $k_1$ y $k_2$ son tangentes externamente en el punto $F$. La recta $t$ toca a los círculos $k_1$ y $k_2$ en los puntos $A$ y $B$, respectivamente. La recta $p$ paralela a la recta $t$ toca al círculo $k_2$ en el punto $C$ e interseca a $k_2$ en los puntos $D$ y $E$. (a) Demuestra que los puntos $A, F$ y $C$ están sobre la misma recta. (b) Demuestra que el punto $A$ es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $BDE$.

2020.2.3 Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo obtuso en el vértice $C$ y sea $k$ un círculo de diámetro $AB$. La bisectriz del ángulo $\angle CAB$ interseca al círculo $k$ en el punto $D$ ($D\ne A$), y la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ interseca a ese círculo en el punto $E$ ($E\ne B$). Un círculo inscrito en el triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ y $AC$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demuestra que los puntos $D,E,F$ y $G$ están en la misma línea.

2021.3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro, y $M$ el punto medio del lado $BC$. El punto $N$ es el pie de la perpendicular trazada desde $H$ hasta $AM$. Demuestra que los puntos $B$, $C$, $N$ y $H$ están en la misma circunferencia.

10.3 En la celda $(i,j)$ de una tabla $n\times n$ está escrito el número $(i-1)n + j$. Determina todos los enteros positivos $n$ tales que hay exactamente $2025$ filas que no contienen un cuadrado perfecto.