4 Si los números reales $a>b>1$ satisfacen la desigualdad $$(ab+1)^2+(a+b)^2\leq 2(a+b)(a^2-ab+b^2+1)$$ ¿cuál es el valor mínimo posible de $\dfrac{\sqrt{a-b}}{b-1}$

1 Halle todas las ternas de enteros positivos $(a,b,c)$ para las cuales el número $3^a+3^b+3^c$ es un cuadrado perfecto.

3 En un triángulo acutángulo $ABC$ cuyo circuncentro se llama $O$ , hay una recta perpendicular a $AO$ que corta a $[AB]$ y $[AC]$ respectivamente en los puntos $D$ y $E$ . Hay un punto llamado $K$ , distinto del punto de intersección de $AO$ y $BC$ , sobre $[BC]$ . La recta $AK$ corta a la circunferencia circunscrita de $ADE$ en $L$ , distinto de $A$ . $M$ es el punto simétrico de $A$ respecto a la recta $DE$ . Demuestre que $K$ , $L$ , $M$ , $O$ son concíclicos.

3 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ cuyas diagonales se intersecan en el punto $E$ , se cumplen las igualdades $$\dfrac{|AB|}{|CD|}=\dfrac{|BC|}{|AD|}=\sqrt{\dfrac{|BE|}{|ED|}}$$ . Demuestre que $ABCD$ es un paralelogramo o un cuadrilátero cíclico

4 Para todos los números reales positivos $x,y,z$ , halle todos los números reales positivos $c$ que cumplen $$\frac{x^3y+y^3z+z^3x}{x+y+z}+\frac{4c}{xyz}\ge2c+2$$

1 Muestre que \[1 \leq \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2} \leq \frac98\] se cumple para todos los números reales positivos $x,y$ .

1 Sean $x, y$ enteros y $p$ un primo para el cual \[ x^2-3xy+p^2y^2=12p \] Halle todas las ternas $(x,y,p)$ .

2 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales son perpendiculares entre sí y se intersecan en $E$ . Sea $P$ un punto del lado $AD$ distinto de $A$ tal que $PE=EC.$ La circunferencia circunscrita del triángulo $BCD$ interseca al lado $AD$ en $Q$ , donde $Q$ también es distinto de $A$ . La circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a la recta $EP$ en $P$ , interseca al segmento $AC$ en $R$ . Si los puntos $B, R, Q$ son concurrentes, muestre que $\angle BCD=90^{\circ}$ .

4 El jugador $A$ coloca un número impar de cajas alrededor de un círculo y distribuye $2013$ bolas en algunas de estas cajas. Luego el jugador $B$ elige una de estas cajas y toma las bolas que hay en ella. Después de eso, el jugador $A$ elige la mitad de las cajas restantes de modo que no haya dos consecutivas y toma las bolas que hay en ellas. Si el jugador $A$ garantiza tomar $k$ bolas, halle el máximo valor posible de $k$ .

3 Sean $a, b, c$ números reales positivos que satisfacen $a^3+b^3+c^3=a^4+b^4+c^4$ . Muestre que \[ \frac{a}{a^2+b^3+c^3}+\frac{b}{a^3+b^2+c^3}+\frac{c}{a^3+b^3+c^2} \geq 1 \]