C2 Alicia y Bob juegan al siguiente juego: Comienzan con montones de monedas no vacíos. Turnándose, con Alicia jugando primero, cada jugador elige un montón con un número par de monedas y mueve la mitad de las monedas de ese montón al otro montón. El juego termina si un jugador no puede moverse, en cuyo caso el otro jugador gana. Determina todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que si inicialmente los dos montones tienen $a$ y $b$ monedas respectivamente, entonces Bob tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Dimitris Christophides, Chipre

C3 Un collar abierto puede contener rubíes, esmeraldas y zafiros. En cada paso podemos realizar cualquiera de las siguientes operaciones: Podemos reemplazar dos rubíes consecutivos por una esmeralda y un zafiro, donde la esmeralda está a la izquierda del zafiro. Podemos reemplazar tres esmeraldas consecutivas por un zafiro y un rubí, donde el zafiro está a la izquierda del rubí. Si encontramos dos zafiros consecutivos, podemos eliminarlos. Si encontramos consecutivamente y en este orden un rubí, una esmeralda y un zafiro, podemos eliminarlos. Además, también podemos invertir todas las operaciones anteriores. Por ejemplo, invirtiendo la 3. podemos poner dos zafiros consecutivos en cualquier posición que queramos. Inicialmente el collar tiene un zafiro (y ninguna otra piedra preciosa). Decide, con prueba, si existe una secuencia finita de pasos tal que al final de esta secuencia el collar contenga una esmeralda (y ninguna otra piedra preciosa). Observación: Un collar es abierto si sus piedras preciosas están en una línea de izquierda a derecha. No se nos permite mover una piedra preciosa de la posición más a la derecha a la más a la izquierda como podríamos hacer si el collar fuera cerrado. Propuesto por Demetres Christofides, Chipre ThE-dArK-lOrD

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Sean $D,E$ los excírculos de los triángulos $AMB,AMC$ respectivamente, hacia $M$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ interseca la línea $BC$ en los puntos $B$ y $F$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ACE$ interseca la línea $BC$ en los puntos $C$ y $G$. Demuestra que $BF=CG$. por Petru Braica, Rumania

G2 Sea $ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\Gamma$ con centro $O$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y sea $K$ el punto medio de $OH$. La tangente a $\Gamma$ en $B$ corta a la mediatriz de $AC$ en $L$. La tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la mediatriz de $AB$ en $M$. Demuestra que $AK$ y $LM$ son perpendiculares. por Michael Sarantis, Grecia

G3 Sea $P$ un punto interior del triángulo $ABC$. Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados del triángulo $ABC$ y sea $p$ su semiperímetro. Encuentra el valor máximo posible de $$ \min\left(\frac{PA}{p-a},\frac{PB}{p-b},\frac{PC}{p-c}\right) $$ considerando todas las posibles elecciones del triángulo $ABC$ y del punto $P$. por Elton Bojaxhiu, Albania

G4 Un cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia $k$, donde $AB > CD$, y $AB$ no es paralelo a $CD$. El punto $M$ es la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$, y la perpendicular desde $M$ a $AB$ corta al segmento $AB$ en un punto $E$. Si $EM$ biseca el ángulo $CED$, demuestra que $AB$ es diámetro de $k$. Propuesto por Emil Stoyanov, Bulgaria.

G5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC<BC$ y sea $D$ un punto sobre la extensión de $BC$ hacia $C$. El círculo $c_1$, con centro $A$ y radio $AD$, interseca a las rectas $AC,AB$ y $CB$ en los puntos $E,F$ y $G$ respectivamente. El círculo circunscrito $c_2$ del triángulo $AFG$ interseca de nuevo a las rectas $FE,BC,GE$ y $DF$ en los puntos $J,H,H'$ y $J'$ respectivamente. El círculo circunscrito $c_3$ del triángulo $ADE$ interseca de nuevo a las rectas $FE,BC,GE$ y $DF$ en los puntos $I,K,K'$ e $I'$ respectivamente. Demuestra que los cuadriláteros $HIJK$ y $H'I'J'K'$ son cíclicos y que los centros de sus círculos circunscritos coinciden. por Evangelos Psychas, Grecia

G6 En un triángulo $ABC$ con $AB=AC$, $\omega$ es la circunferencia circunscrita y $O$ su centro. Sea $D$ un punto en la extensión de $BA$ más allá de $A$. La circunferencia $\omega_{1}$ del triángulo $OAD$ interseca a la recta $AC$ y a la circunferencia $\omega$ nuevamente en los puntos $E$ y $G$, respectivamente. El punto $H$ es tal que $DAEH$ es un paralelogramo. La recta $EH$ corta a la circunferencia $\omega_{1}$ nuevamente en el punto $J$. La recta que pasa por $G$ perpendicular a $GB$ corta a $\omega_{1}$ nuevamente en el punto $N$, y la recta que pasa por $G$ perpendicular a $GJ$ corta a $\omega$ nuevamente en el punto $L$. Demuestra que los puntos $L, N, H, G$ están en una circunferencia.

N1 Para enteros positivos $m$ y $n$, sea $d(m, n)$ el número de primos distintos que dividen tanto a $m$ como a $n$. Por ejemplo, $d(60, 126) = d(2^2 \cdot 3 \cdot 5, 2 \cdot 3^2 \cdot 7) = 2$. ¿Existe una sucesión $(a_n)$ de enteros positivos tal que: $a_1 \geq 2018^{2018}$; $a_m \leq a_n$ siempre que $m \leq n$; $d(m, n) = d(a_m, a_n)$ para todos los enteros positivos $m\neq n$? (Dominic Yeo, Reino Unido)

N3 Encuentra todos los primos $p$ y $q$ tales que $3p^{q-1}+1$ divide a $11^p+17^p$ Propuesto por Stanislav Dimitrov, Bulgaria